13.3.5. Различение сигналов с неизвестными запаздываниями

Найдем вероятности правильного различения сигналов, обладающих неизвестными запаздываниями, соответствующие алгоритму п. 13.2.2. В этом случае параметры неизвестные запаздывания, Применив для вероятностей разложения (13.3.45) и (13.3.46), вычислим семиинварианты по формулам (13.3.52). Для этого найдем входящие в эти формулы величины. При непрерывном наблюдении

где запаздывание, обеспечивающее минимум (13.3.82).

Используя введенные в п. 13.2.2 предположения о малой эффективной длительности сигналов и о том, что априорные диапазоны заключены внутри интервала , а также вводя дополнительное предположение о четности функций получаем

и, следовательно,

причем, очевидно, что

и аналогично

В (13.3.84) штрихом обозначены производные по времени. Выбор нулевого порога обеспечивает в данном случае выполнение естественного требования равенства вероятностей правильных решений при обеих гипотезах. При согласно (13.3.45), (13.3.46), (13.3.52)

где

Нечетные семиинварианты обращаются в нуль благодаря равенству При что соответствует, например, случаю, когда функции различаются только амплитудами, четные семиинварианты татже обращаются в нуль и в (13.3.85) остается только первый член. Однако даже при поправка к нему пренебрежимо мала, если только

Приведем для сравнения вероятности правильных решений для известных запаздываний сигналов При нулевом пороге алгоритм принятия первой гипотезы (наличие сигнала соответствующий сравнению с порогом логарифма отношения правдоподобия, имеет вид

В случае где

алгоритм (13.3.87) принимает вид

Если обозначить

то при выполнении первой гипотезы

Так как величина z распределена по нормальному закону,

Рассматривая аналогично случай выполнения второй гипотезы, легко находим, что

Рис. 13.9. Зависимость вероятностей ошибок от 1, 2 — сигналы с неизвестными запаздываниями 1) ; 2) сигналы с известными запаздываниями; 3)

Сравнивая (13.3.85) и (13.3.90), замечаем, что проигрыш в эффективности различения сигналов, возникающий из-за незнания их запаздываний, отсутствует, если запаздывания равны, т. е. всех остальных случаях незнание запаздываний сигналов уменьшает вероятности правильных решений.

Зависимость вероятностей от для крайних значений построена на рис. 13.9. Из него видно, что влияние коэффициента корреляции ошибок измерений запаздываний довольно несущественно и уменьшается с ростом отношения сигнал/шум На

этом же рисунке показаны пунктиром зависимости вероятностей от при разных значениях

соответствующих различным разностям запаздываний сигналов. Они дают возможность оценить величину проигрыша из-за незнания запаздываний. Случаю соответствует кривая .