2.5. ПОЛНЫЕ КЛАССЫ РЕШАЮЩИХ ПРАВИЛ

Пример а § 2.4 является простейшей иллюстрацией весьма важной закономерности, связанной с байесовым подходом и играющей существенную роль при синтезе систем оптимальной обработки информации в условиях априорной неопределенности. Сформулируем еще раз основной результат, полученный при рассмотрении этого примера: оптимальное правило выбора решения из конечного множества альтернатив состоит в сравнении линейных комбинаций функций правдоподобия; структура этого правила не зависит ни от конкретного физического содержания задачи, ни от функции потерь, ни от априорных вероятностей истинных ситуаций, которые влияют только на численные значения коэффициентов линейных комбинаций. Эта независимость дает основание полагать, что класс решающих правил, содержащий составление линейных комбинаций функций правдоподобия с теми или иными значениями коэффициентов и выбор решения, соответствующего минимальной комбинации, на самом деле обладает свойством оптимальности в более широком смысле, чем только в рамках байесова подхода. Можно сделать еще более смелое предположение, что этот класс содержит вообще все оптимальные решающие правила для многоальтернативной задачи (если только выбрать нужные коэффициенты линейных

комбинаций), в том числе и для случая неизвестных значений функции потерь и неизвестных априорных вероятностей.

Если это предположение справедливо, то в соответствии с терминологией теории статистических рещений [6, 9] такой класс будет называться полным. Последнее определение означает, что любое правило принятия решения (алгоритм обработки информации), не относящееся к полному классу (имеющее другую структуру), не может быть лучше, чем хотя бы одно из правил данного класса. Иными словами, все самые хорошие (оптимальные) правила принятия решения обязательно принадлежат к полному классу. Конечно, разобраться внутри этого класса, чтобы найти действительно оптимальное правило, может быть, и непросто (в примере многоальтернативного решения это означает правильно выбрать коэффициенты в линейных комбинациях функций правдоподобия), но если полный класс тем или иным способом определен, то искать оптимальное решение вне этого класса просто не имеет смысла.

Важнейшим свойством байесовых правил принятия решения является то, что при не очень жестких ограничениях, которые выполняются в подавляющем большинстве прикладных задач, эти правила образуют полный класс [9] (там же изложены ограничения). Таким образом, байесов подход является путеводной нитью, позволяющей определить структуру оптимального решения в более широких условиях, чем при полностью известном статистическом описании задачи.

Практическое использование этого свойства состоит в следующем. Если для «чистого» применения байесова подхода не хватает каких-либо априорных данных (неизвестны или неполностью известны функции потерь, априорные распределения для параметров к, функции правдоподобия), то они задаются произвольно и формальным применением байесовой процедуры, изложенной выше (отысканием условий минимума апостериорного риска), находится структура оптимального решения. Только в редких случаях эта структура остается раскрытой на том весьма высоком уровне общности, который соответствует соотношениям (2.4.1) и по сути дела Означает просто требование минимума апостериорного риска. В большинстве же практических задач при более или менее конкретной их формулировке можно получить существенно больше информации о виде оптимального решающего правила (алгоритме обработки имеющихся данных) и в значительной степени детализировать его структуру, при этом очень часто (как это получается в примере многоальтернативного решения) эту структуру можно определить полностью с точность до некоторого количества числовых параметров. Наиболее ярким примером является двухальтернативное решение, для которого оптимальное правило (подчеркнем, что благодаря свойству полного класса эта оптимальность является всеобщей, а не только байесовой) находите с точностью до одной константы — порога сравнения для отношения правдоподобия (2.4.7). Аналогичным образом структура оптимального Правила решения может быть детализирована и во многих других конкретных задачах.