14.4. ФУНКЦИЯ ПОТЕРЬ, ПРОСТАЯ ПО ПРОВЕРЯЕМЫМ ГИПОТЕЗАМ И КВАДРАТИЧНАЯ ПО ОШИБКАМ ОЦЕНОК

Указанным недостатком простой функции потерь не обладает функция потерь вида

где знак транспонирования. Она означает, что при любом неправильном принятии гипотезы потери равны единице, т. е. эта функция потерь является простой по проверяемым гипотезам. Однако при правильном принятии гипотезы потери содержат член, пропорциональный сумме квадратов ошибок оценки всех информативных параметров.

При подстановке функции потерь (14.4.1) в условие принятия гипотезы и оценок (14.2.4) последнее принимает вид

Условие (14.4.2) можно представить в виде

где обозначено

а апостериорная одномерная плотность вероятности для компоненты вектора — границы интервала изменения этой компоненты. Этот вид условия приняты гипотезы и оценки

удобен для трактовки смысла указанного условия, однако он не может быть применен непосредственно из-за необходимости вычисления соответствующих интегралов.

Интегралы, входящие в (14.4.2), вычислим приближенно. Для этого предположим, что удовлетворяются условия (6.5.7) для априорных распределений и для функций правдоподобия а также, что оценка максимального правдоподобия принадлежит области определяемой областями изменения параметров к и и находится достаточно далеко от ее границы (см. § 13.6). В частности, это автоматически выполняется при безграничных областях

Тогда усредненная плотность вероятности записываемая в виде

где

в результате приближенного вычисления находится как

где квадратная матрица порядка состоящая из элементов

Далее, для соблюдения условия (14.4.2) необходимо найти

Очевидно, что этот минимум имеет место при

где

Таким образом, необходимые оценки информативных параметров определяются условным математическим ожиданием (14.4.9), чего и следовало ожидать, учитывая квадратичный вид функции потерь по этим параметрам.

Как обычно, при симметричной относительно точки максимума функции правдоподобия и гладкой в вышеуказанном смысле

априорной плотности вероятности соблюдаются условия, при которых

В данном случае определяется из условия

Вычисляя при соблюдении введенных выше условий (14.4.10), приближенно имеем

где находится согласно (14.3.5).

Предполагая, как и выше, слабую зависимость от и учитывая описанные свойства приходим к выводу, что в интересующем нас приближении оценки информативных параметров, при которых имеет место минимизация среднего риска, находятся из условия

т. е. должны находиться совместные оценки максимального правдоподобия информативных параметров и параметров обстановки. Теперь входящие в (14.4.2) интегралы

после подстановки могут быть приближенно представлены

где все обозначения введены выше. Представляя (14.4.15) в виде

где

в предположении, что область интегрирования может быть с малой погрешностью заменена на бесконечную, после обычных вычислений интеграла (14.4.17) получим

В последнем выражении использовано представление матрицы в виде

и введена матрица

В результате при сформулированных выше условиях квазиоптимальный алгоритм выбора гипотезы и оценки информативных параметров, ей соответствующих, определяется следующими выражениями:

Таким образом, в рассматриваемом приближении оптимальный алгоритм сводится, как и при простой функции потерь, к максимизации взвешенного апостериорного распределения для проверяемых гипотез совместно с оценками максимального правдоподобия всех неизвестных параметров, как информативных, так и характеризующих условия наблюдения. Однако веса у апостериорных вероятностей в данном алгоритме уже не те, что при простой функции потерь. Эти веса уменьшаются с ростом ошибок измерения информативных параметров. В результате при больших ошибках может приниматься не та гипотеза, апостериорная вероятность которой максимальна, а какая-то другая с меньшей апостериорной вероятностью, но и с меньшими ошибками. Это видно как из (14.4.21), так и из исходного условия (14.4.2а).

Обычно числа компонент оцениваемых векторов невелики и нахождение входящих в (14.4.21) величин не представляет труда. В интересном частном случае наличия всего лишь одного информативного параметра Я и одного параметра обстановки а это вычисление приводит к следующему:

Подставляя (14.4.22) в (14.4.21), имеем

где совместные оценки максимального правдоподобия скалярных параметров А, и а в ситуации.

При проверке двухальтернативных гипотез из (14.4.21) вытекает следующее правило принятия первой гипотезы и оценок

где

Здесь опять априорные распределения при составлении порога заменены на равномерные.

Как и при простой функции потерь, в двухальтернативном случае проверка гипотез свелась к сравнению с порогом отношения правдоподобия, в котором неизвестные параметры заменены их оценками максимального правдоподобия. Однако выражение для порога здесь уже сложнее, чем при простой функции потерь. Этот порог зависит от ошибок измерения информативных параметров.

Оптимальное правило, соответствующее адаптивному байесову подходу (§ 6.2), легко находится при рассмотренной функции потерь из (14.2.3) и получается, если в выражениях (14.4.21), (14.4.23), (14.4.25) произвести замену матриц и на положить