10.2. ОЦЕНКА ПОСТОЯННЫХ ПАРАМЕТРОВ

Этот термин используется для обозначения обширного класса задач, в которых являются векторами из евклидова пространства одинаковой размерности, причем последняя остается неизменной и в том случае, когда объем наблюдаемых данных х (например, размерность вектора увеличивается в процессе наблюдения. Наряду с примерами, в которых постоянство оцениваемых параметров определяется самой исходной постановкой, к подобной задаче сводится и большое число конкретных приложений, в которых идет речь о сугубо переменных величинах, например об оценке функций времени.

Пусть, например, исходная задача статистического решения заключается в разработке правила оценки функции заданной на интервале и известным образом зависящей от времени и совокупности неизвестных параметров к, а последствия от принятия того или иного решения оценки этой функции на заданном интервале времени — определяются некоторым функционалом от определенном на том же интервале Если потребовать» чтобы решение имело ту же структуру, что и оцениваемая функция, т. е. определить его как

где k — некоторая оценка к (заметим, что в весьма различных условиях правило решения (10.2.1) является оптимальным), то функционал определяющий последствия от принятия решения об оценке функции функцией превращается в функцию потерь зависящую только от параметров к и их оценок к, а сама задача статистического решения в соответствии с правилом (10.2.1) сводится к задаче оценки совокупности постоянных параметров k. Наряду с этим простейшим можно привести большое количество других примеров сведения различных практических задач к задаче оценки постоянных параметров.

Оценка постоянных параметров к в условиях параметрически заданной априорной неопределенности является частным случаем рассмотренной в § 6.3 задачи, решение которой заключается в нахождении значений максимизирующих совместную плотность вероятности наблюдаемых данных и параметров к, зависящую от

параметров у. описывающих априорную неопределенность. Обозначая совокупность «полезных» параметров к и «мешающих» параметров у через в, т. е.

и вводя обозначение

мы, очевидно, приходим к задаче нахождения оценок, рассмотренной в гл. 7, путем максимизации функции зависящей от и совокупности имеющих данных наблюдения х. Точно так же, как в гл. 7, решение этой задачи может быть получено конечными методами (точными или итеративными), либо с помощью рекуррентных процедур либо путем их сочетания. При этом оценка у является оценкой максимального правдоподобия, а оценка к — оценкой максимальной апостериорной вероятности.

Если, как это бывает в ряде практических задач, априорная плотность распределения вероятности к вообще неизвестна, то максимизацию функции следует заменить максимизацией функции правдоподобия а совокупность параметров сокращается до Чтобы убедиться в этом, представим случай, когда плотность априорного распределения вероятности к известна настолько плохо, что она может быть задана только с точностью до большого числа параметров т. е. размерность вектора велика и превышает размерность вектора k. Переписывая выражение для из (10.2.3) в виде

и выполняя частную максимизацию по получаем выражение

из условия максимума которого находятся значения «полезных» к и «мешающих» а параметров.

При всех условиях в соответствии с приведенными в гл. 2 доводами о соотношении значимости текущих данных наблюдения описанием которых является функция правдоподобия и априорных данных о к, описанием которых является плотность априорного распределения вероятности функция значительно сильнее зависит от к, чем функция и именно первая из них определяет положение максимума выражения (10.2.5), т. е. значение оптимальной оценки k. Тем более это имеет место в условиях неполного знания априорного распределения вероятности k.

Действительно, если размерность вектора велика, то функция очень слабо зависит от к, а если размерность больше размерности к, то во многих случаях вообще не зависит от к Пусть, например, априорное распределение к является гауссовым с математическим ожиданием и корреляционной матрицей, При этом где совокупность несовпадающих элементов

матрицы и уже частная максимизация по приводит к выражению, не зависящему , следовательно, не влияющему на положение максимума в (10.2.5).

Таким образом, при наличии неопределенности в отношении априорного распределения вероятности к задача нахождения адаптивной оценки к практически сводится максимизации функции правдоподобия и совместному нахождению оценок максимального правдоподобия совокупности интересующих нас параметров к и лишних параметров а, введенных для параметрического описания имеющейся неопределенности знания статистических свойств данных наблюдения х. При этом мы приходим к рассмотренной в гл. 7 задаче нахождения оценок максимального правдоподобия для совокупности параметров и так же, как в общем случае учета можно использовать для этого любой из рассмотренных там методов, в том числе рекуррентные процедуры нахождения оценок максимального правдоподобия.