12.5. ОБНАРУЖЕНИЕ СИГНАЛА С НЕИЗВЕСТНОЙ АМПЛИТУДОЙ В ШУМЕ НЕИЗВЕСТНОЙ ИНТЕНСИВНОСТИ

Выше рассмотрены случаи обнаружения либо сигнала с неизвестной амплитудой в шуме, обладающем данной интенсивностью, либо сигнала полностью известного вида в шуме с неизвестной интенсивностью. Теперь усложним задачу и рассмотрим практически интересный случай, в котором и амплитуда обнаруживаемого сигнала и интенсивность шума неизвестны одновременно. Как и ранее, начнем с классической процедуры анализа.

Допустим, что в моменты наблюдается выбор случайного процесса которая может состоять из компонент шума либо из компонент суммы сигнала заданного вида с неизвестной амплитудой а, и шума. Будем считать, что интенсивность шума неизвестна.

Тогда можно записать в виде

где с вероятностью с вероятностью заданный вектор а — случайный параметр, который по предыдущему будем считать распределенным равномерно в диапазоне шум является гауссовым с корреляционной матрицей

— неизвестная интенсивность шума. Будем считать ее распределенной равномерно в интервале

Согласно приведенным выше результатам оптимальный алгоритм обнаружения состоит в сравнении с соответствующим порогом отношения правдоподобия

где обозначены оценки максимального правдоподобия соответствующих параметров и применяются введенные выше обозначения.

Плотность вероятности и оценка определяются вторыми формулами (12.3.3), (12.3.5) и соответственно

Плотность вероятности определяется формулой

Оценки максимального правдоподобия находятся из системы уравнений

После преобразований эти уравнения имеют вид

откуда

Отношение правдоподобия (12.5.2) принимает вид:

Здесь, как и ранее,

Отношение (12.5.9) должно сравниваться с порогом

Величина относится к ситуации, когда имеется только шум неизвестной интенсивности, и поэтому определяется второй из формул (12.3.8)

где

Величина в соответствии с (11.2.5) определяется как

Учитывая независимость и равномерность распределения для находим, что Матрица определяется как

Согласно (12.5.7)

где

Отсюда

В результате порог имеет вид

Сравнение с порогом (12.5.15) отношения правдоподобия (12.5.9) эквивалентно алгоритму, в соответствии с которым принимается решение о наличии сигнала, если

где порог определяется как

оценочное значение нормированного отношения сигнал/шум Если же считать, что то

где оценочное значение диапазона изменения отношения сигнал/шум (при заданном диапазоне изменения амплитуды сигнала и оценочном значении интенсивности шума, полученном в предположении о наличии сигнала). Нетрудно видеть, что выражение в скобках в (12.5.18) совпадает с соответствующим порогом, определяемым формулой (12.2.12), при обнаружении сигнала с неизвестной амплитудой в шуме известной интенсивности с той лишь разницей, что истинный диапазон заменен на оценочный Вместе с тем структура алгоритма, включая и зависимость порога от , оказалась такой же, как при обнаружении детерминированного сигнала в шуме неизвестной интенсивности.

При переходе к наблюдению непрерывных сигналов алгоритм (12.5.16) в результате предельного перехода принимает следующий вид:

где

Порог определяется как

где

максимальная энергия сигнала.

В отношении алгоритма (12.5.19) следует сделать те же оговорки, которые были применены к алгоритму непрерывных наблюдений в § 12.3. Шум здесь подразумевается не белым, а имеющим полосу а алгоритм (12.5.19) является лишь приближением к оптимальному алгоритму. При применении процедуры оптимизации, изложенной в § 6.2, алгоритмы (12.5.16), (12.5.19) остаются в силе, однако порог С становится постоянным и определяется как

Функциональная схема оптимального обнаружителя, выполняющего операции (12.5.19), изображена на рис. 12.7.

Рис. 12.7. Функциональная схема оптимального обнаружителя сигнала с неизвестной амплитудои в шуме неизвестной интенсивности: 1 — генератор сигнала ; 2 - квадраторы, 3 — интеграторы, 4 — делящее устройство, 5 — реле

Найдем характеристики обнаружения, соответствующие полученному алгоритму. Если пренебречь зависимостью порога от то этот алгоритм может быть записан в следующем виде. Решение о наличии сигнала принимается в случае, если

где

Введем линейное преобразование

с такой матрицей что Тогда

т. е.

В силу вышеописанных свойств и функция корреляции

При нахождении математического ожидания учтем, что согласно (12.5.22) и (12 5 23)

Из условия т. е. вытекает

Отсюда при а значит при

При математическое ожидание следовательно, и Из

Таким образом,

где статистически независимые нормально распределенные величины с параметрами при и при

Алгоритм обнаружения сводится к сравнению с порогом величины

Для расчета характеристик обнаружения необходимо найти вероятность Очевидно, что

где интегральный закон распределения для С. Если же ввести

то

где - интегральный закон распределения величины т. е. распределение Стьюдента [16]. При это центральное, а при нецентральное распределение Стьюдента.

В результате характеристики обнаружения могут быть найдены по таблицам и графикам, приведенным, например, в [8]. Этими графиками следует пользоваться при малых вероятностях ложной тревоги При больших и достаточно больших хорошим приближением является

В результате алгоритм обнаружения сводится к тому, что решение о наличии сигнала принимается, если

что с точностью до множителя совпадает с алгоритмом обнаружения сигнала с неизвестной амплитудой в шуме известной интенсивности. При этом характеристики обнаружения определяются формулами (12.2.19), (12.2.20). Характеристика обнаружения при приведена на рис. 12.8.

Адаптивный алгоритм последовательного анализа при обнаружении сигнала с неизвестной амплитудой в шуме неизвестной интенсивности в тех же предположениях, что и в предыдущих задачах, сводится к сравнению на каждом шаге наблюдений отношения

с двумя порогами

где оценочное значение диапазона изменения отношения сигнал/шум, полученное на шаге наблюдений. Легко видеть, что структура порогов получилась такой же, как (12.3.25). Однако эти пороги, вообще говоря, случайны за счет зависимости от

Рис. 12.8. Характеристика обнаружения сигнала с неизвестной амплитудой в шуме неизвестной ннтенсивности.

Для нахождения рекуррентного адаптивного алгоритма обнаружения подобно (12.3.26) представим правило принятия решения о наличии сигнала на шаге наблюдений в виде

Подставляя (12.5.36) в левую часть (12.5.38) и полагая, что при достаточно больших можно использовать неравенство получаем

Эту рекуррентную формулу следует дополнить рекуррентными соотношениями для и которые легко вывести,

используя (12.5.8) и (12.5.3). В том же приближении, что и (12.5.39), они имеют вид