10.3. ВЛИЯНИЕ ВОЗМОЖНОСТИ УТОЧНЕНИЯ ПО ДАННЫМ НАБЛЮДЕНИЯ АПРИОРНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ ПАРАМЕТРОВ X НА ТОЧНОСТЬ ИХ ОЦЕНКИ

В приведенных выше примерах предполагалось полное незнание априорного распределения вероятности для параметров к или столь большая его неопределенность, что так или иначе лучшей оценкой является оценка максимального правдоподобия к, построенная совместно с максимально правдоподобными оценками для мешающих параметров а функции правдоподобия. Рассмотрим теперь, как влияет на структуру и точность оценки параметров к возможность уточнения параметров априорной плотности вероятности с помощью имеющихся данных наблюдения. Естественно, для того чтобы такое уточнение было

возможно, среди этих данных должны быть такие, которые хотя бы в принципе давали возможность найти оценки неизвестных параметров

Обратимся к самому простому примеру. Пусть задача статистического решения заключается в оценке по совокупности данных наблюдения параметра X, имеющего нормальное распределение вероятности с математическим ожиданием и дисперсией Величины независимы и нормально распределены с математическим ожиданием X и дисперсией Пусть наряду с имеется совокупность наблюденных значений каждое из которых имеет то же распределение вероятности, что и Тогда полная совокупность данных наблюдения х есть

а логарифм совместной плотности вероятности равен

где

— слагаемое, не зависящее от и

Если параметры плотности априорного распределения вероятности X известны, то является функцией только от X и, максимизируя по X, мы получим оптимальную байесову оценку параметра X при отсутствии априорной неопределенности:

где

— отношение дисперсий Эта оценка имеет средний квадрат отклонения от истинного значения, равный

Если априорное распределение вероятности X определено только с точностью до неизвестных параметров, то в соответствии с общими правилами адаптивного байесова подхода необходимо проводить совместную оценку X и этих неизвестных параметров. Пусть единственным неизвестным параметром является математическое ожидание

Предположим сначала, что данные наблюдения о значениях отсутствуют, Тогда функция принимает вид

Максимизируя ее по получаем функцию

совпадающую с логарифмом функции правдоподобия. Это свидетельствует о том, что при отсутствии данных наблюдения, способных повлиять на уточнение параметров априорного распределения вероятности, последнее можно считать полностью неизвестным

Параметрическое задание плотности в этом случае (при невозможности оценки параметров не приводит ни к каким улучшениям оценки параметра X по сравнению с оценкой максимального правдоподобия

Последняя получается максимизацией (10.3.8) и имеет вид

а ее отклонение от истинного значения характеризуется дисперсией

Индекс «0» подчеркивает, что эта оценка образована при отсутствии наблюденных значений

Таким образом, наличие априорной неопределенности приводит к проигрышу в точности в

раз. Этот проигрыш может оказаться существенным только в том случае, если не очень велико, а отношение достигает больших значений, априорный разброс значений измеряемого параметра X (величина не велик по сравнению с апостериорным разбросом (величиной ), полученным в результате оптимального оценивания этого параметра.

Пусть теперь имеется некоторое количество значений которые могут быть использованы для уточнения параметров априорного распределения вероятности Максимизируя функцию из (10 3 2) по и X, получаем следующее выражение для оценки параметра X

которое отличается от выражения (10 3.4) для оптимальной байесовой оценки заменой известного значения его среднеарифметической

оценкой по совокупности наблюденных значении и заменой величины величиной Дисперсия этой оценки

а проигрыш в точности измерения по отношению к оптимальной байесовой оценке характеризуется отношением

Уже при величина этого отношения не превосходит двух при каких угодно значениях и

Если наряду с математическим ожиданием неизвестна и априорная дисперсия параметра А, то оценка этого параметра по-прежнему определяется по (10.3.12) с заменой ее оценочным значением

При этом минимально необходимое количество наблюденных значений для построения такой оценки равно двум.

Полученные результаты являются подтверждением отмеченных в гл. 2 общих закономерностей, относящихся к влиянию неопределенности априорного распределения вероятности параметров А на точность оценивания этих параметров. Это влияние практически несущественно, если априорный разброс значений А велик по сравнению с апостериорным разбросом, получающимся в результате оптимального оценивания в соответствии с байесовым правилом решения, или, что то же самое, по сравнению с разбросом, получающимся при оценивании методом максимального правдоподобия, т. е. в тех случаях, когда ширина плотности априорного распределения вероятности А велика по сравнение с шириной функции правдоподобия. В этих условиях возможность уточнения параметров априорного распределения вероятности А за счет использования данных наблюдения слабо влияет на точность оценки А (при оценки и имеют одинаковую точность).

Поэтому затраты на получение дополнительных данных наблюдения, необходимых для оценивания параметров априорного распределения вероятности А, и усложнение алгоритмов оценивания А в этих условиях практически не оправданы. Эти дополнительные усилия имеют смысл только в том случае, когда априорный разброс А относительно невелик.