12.6. ОБНАРУЖЕНИЕ СИГНАЛА С НЕИЗВЕСТНЫМИ АМПЛИТУДОЙ И ФАЗОЙ В НЕКОРРЕЛИРОВАННОМ ШУМЕ

Задача обнаружения высокочастотного сигнала с неизвестными амплитудой и фазой при его приеме в гауссовом шуме неоднократно рассматривалась в литературе [2, 17, 22]. При этом сигнал считался медленнофлюктуирующим с заданным законом распределения вероятностей.

Рассмотрим несколько иную задачу. Будем считать, что законы распределения постоянных за время наблюдения амплитуды и фазы или, что то же, амплитуд косинусной и синусной составляющих сигнала неизвестны. Приближенно известны только диапазоны их изменения. Тогда в рамках классической процедуры анализа задача может быть сформулирована следующим образом.

На интервале наблюдается сигнал который может быть представлен в виде

где с вероятностью с вероятностью соответственно амплитудная и фазовая модуляции сигнала; несущая частота; неизвестные амплитуды косинусной и синусной составляющих сигнала, диапазрны изменения которых гауссов шум, обладающий полосой и спектральной плотностью в этой полосе приблизительно постоянной и равной так что при наблюдении сигнала через интервалы компоненты шума можно считать независимыми и обладающими дисперсией При наблюдении сигнала в дискретные моменты времени

где

В соответствии с (12.1.1) оптимальный алгоритм обнаружения сигнала в шуме сводится к сравнению с порогом отношения правдоподобия

где при сделанных выше допущениях записываются в виде

оценки максимального правдоподобия параметров определяемые из уравнений

Из этих уравнений

Решая уравнения (12.6.7) совместно и вводя обозначения

получаем

Подставляя (12.6.5) и (12.6.9) в (12.6.4), имеем

Алгоритм обнаружения сводится к тому, что принимается решение о наличии сигнала, если

где порог, с которым должно сравниваться отношение правдоподобия. При выполнении обратного неравенства принимается решение об отсутствии сигнала.

В случае соблюдения условий

соблюдаются приближенные равенства

и алгоритм (12.6.11) принимает следующий упрощенный вид:

Учитывая, что оценки параметров в данном случае приближенно определяются как

алгоритм (12.6.13) можно переписать в виде

где оценочное значение отношения нал/шум

Представление алгоритма обнаружения в виде (12.6.15) подчеркивает его адаптивную сущность, заключающуюся в том, что строится оценка неизвестного отношения сигнал/шум и сравнивается с порогом. Согласно выведенным выше формулам порог находится как

В данном случае а

Матрица находится как

Из (12.6.5) находим, что

откуда, заменяя на имеем

Применяя приближение а также предполагая, что амплитуды изменяются в пределах так что получаем

откуда величина порога

Далее будем считать, что При отрицательных С, как и в задаче с неизвестной амплитудой сигнала, соблюдаются условия, при которых наблюдения не могут улучшить априорных данных.

При наблюдении в непрерывном времени, умножая (12.6.8) на и переходя к пределу при алгоритм обнаружения (12.6.13) преобразуем к виду

где

Таким образом, оптимальный алгоритм обнаружения состоит в корреляционной обработке принимаемого сигнала в двух квадратурных каналах за время наблюдения и в сравнении с порогом суммы квадратов результатов этой области. Функциональная схема обнаружителя представлена на рис. 12.9.

Рис. 12.9. Функциональная схема оптимального обнаружителя сигнала с неизвестными амплитудой и фазой в шуме: 1 — гетеродин, генерирующий колебания ; 2 —фазовращатель интеграторы; 4 — квадраторы; 5 — реле.

В результате оптимальным оказался тот же обнаружитель, что и при известном гауссовом априорном распределении для постоянных за время наблюдения амплитуд и

Характеристики обнаружения, соответствующие полученному алгоритму, усредненные по нормальному закону распределения для амплитуд приведены во многих литературных источниках (например, [2, 22]) и имеют вид

Однако по самой сути решаемой задачи мы нашли адаптивный алгоритм, связанный с оценкой неизвестных амплитуд закон распределения которых также неизвестен (приближенно задан лишь диапазон их изменения). Этот алгоритм свелся к вышеописанному алгоритму, но характеристики обнаружения в данном случае следует рассчитывать при тех значениях которые имеют место в действительности и оцениваются (хотя бы в неявной форме) при работе алгоритма.

Перепишем алгоритм (12.6.13) в виде

где - согласно (12.6.8) нормально распределенные случайные величины, при статистически независимые с дисперсиями, равными единице, и с математическими ожиданиями

Поэтому описывается -распределением [16] с двумя степенями свободы. При это центральное -распределение, и плотность вероятности величины х выражается формулой

Вероятность ложной тревоги

При величина х описывается нецентральным -распределением с двумя степенями свободы и с параметром нецентральности

В результате плотность вероятности для х имеет вид [22]

Здесь -модифицированная функция Бесселя нулевого порядка. Представляя в виде [13]

и находя вероятность правильного обнаружения, имеем

Вычисляя интеграл в (12.6.30) [13], получаем

Практически для вычислений достаточно пользоваться несколькими членами ряда (12.6.31), а при малых можно использовать таблицы, помещенные в [8], при параметре нецентральности На рис. 12.10 изображена получающаяся характеристика обнаружения при

Алгоритм последовательного анализа, минимизирующий текущий средний риск, сводится в данном случае к сравнению оценки отношения сигнал/шум построенной на каждом шаге и определяемой (12.6.15), с двумя порогами

где определяются, как и в предыдущих задачах.

Рис. 12.10. Характеристика обнаружения сигнала с неизвестными амплитудой и фазой в шуме: 1 — при заданных амплитудах ; 2 - усредненная по нормальному закону распределения для

Рекуррентный адаптивный алгоритм обнаружения сводится к рекуррентному соотношению для отношения сигнал/шум которое сравнивается с порогом Из (12.6.13) легко найти, что при

где определяются рекуррентными формулами

Порог, с которым сравнивается определяется как