10.7. АДАПТИВНАЯ ЗАДАЧА ВЫДЕЛЕНИЯ РЕСУРСОВ

Адаптивные правила принятия решений особенно существенны в таких задачах, как планирование, распределение ресурсов, организация экспериментов, проведение разработок проектов и т. п. Как правило, на практике любая из подобных задач сопровождается некоторой априорной неопределенностью, а критичность к выбору решения велика и даже сравнительно небольшое отклонение от оптимального решения приводит к довольно серьезным последствиям и большим потерям. С целью иллюстрации применения развитых выше методов синтеза в условиях априорной неопределенности рассмотрим простой пример задачи принятия решения о величине выделяемых ресурсов.

Пусть задачей решения является выбор величины и, характеризующей количество ресурсов, выделяемых для достижения той или иной цели (энергия излучения радиолокатора в единичном зондировании при обнаружении цели, денежных средств на пробедение эксперимента Будем считать, что реализация поставленной цели, помимо выделяемых ресурсов, зависит от некоторых случайных факторов, влияние которых тем больше, чем меньше выделено ресурсов. Во многих задачах это влияние можно описать следующим образом: имеется некоторый уровень к, такой, что если количество выделенных ресурсов и меньше к, то поставленная цель вообще не достигается, причем величина этого уровня является случайной. Обозначим потери, являющиеся следствием недостижения поставленной цели, через и будем считать, что они измеряются в тех же единицах, что ресурсы и. Тогда полная функция потерь слагается из затрат на выделяемые ресурсы и потерь от возможного недостижения поставленной цели и может быть записана в виде

Пусть к имеет распределение с плотностью Тогда ожидаемые потери — средний риск — равны

и оптимальное значение и находится минимизацией этой функции по и с учетом имеющихся ограничений на допустимые значения . Функция всегда дифференцируема по , поэтому оптимальное значение находится из уравнения

если

где заданная область допустимых значений , и

если т. е. при невысокой стоимости потерь от недостижения поставленной цели.

Если значение определяется из (10.7.3) неоднозначно, то требуется дополнительное исследование прямым сопоставлением значений из (10.7.2) для различных решений уравнения (10.7.3). Особый случай представляет распределение с равномерной плотностью, когда решение уравнения (10.7.3) не определено. В этом случае минимум среднего риска (10.7.2) достигается при

где а — верхняя граница интервала, в котором сосредоточено равномерное распределение К. Любопытно отметить, что оптимальное решение не зависит от положения нижней границы этого интервала или ширины равномерного распределения Минимальный средний риск для равномерного распределения равен

и также не зависит от значения

До сих пор мы рассматривали чисто байесову задачу. Пусть теперь из-за имеющейся априорной неопределенности распределение вероятности неизвестно и задано только с точностью до некоторых неизвестных параметров а, т. е.

Тогда корень уравнения также зависит от и, следовательно, оптимальное решение тоже неизвестно (мы опускаем тривиальный случай, когда при всех а и оптимальное решение В случае равномерного распределения таким неизвестным параметром является верхняя граница интервала а, определяющая правило решения (10.7.6). Заметим, что значение нижней границы которая не влияет на структуру правила решения, не является существенным параметром и ее незнание не вносит априорной неопределенности в решение задачи.

Воспользуемся для выбора решения и адаптивным байесовым подходом, предположив, что к моменту принятия решения имеется совокупность данных наблюдения где каждое

представляет собой выборочное значение величины с плотностью распределения распределено так же, как К. Тогда в соответствии с общими правилами адаптивного байесова подхода правило решения определяется следующим образом:

где - значение , которое обращает в минимум дредний риск при данном значении а (решение уравнения (10.7.3) при из (10.7.8)), а оценка максимального правдоподобия, построенная по совокупности данных наблюдения которая определяется по общим правилам гл. 7. Естественно, что при выполнении условий сходимости оценки к истинному значению а правило решения (10.7.9) сходится к оптимальному байесову правилу с известным значением а, а средний риск правила (10.7.9) — к минимальному среднему (байесову) риску.

Рассмотрим до конца пример с равномерным распределением . В гл. 7 было показано, что оценка максимального правдоподобия для параметра а (верхней границы интервала равномерного распределения) определяется выражением

Подставляя ее в (10.7.6), получаем следующее адаптивное байесово правило выделения ресурсов:

В гл. 7 мы видели, что оценка (10.7.10) является суперэффективной оценкой параметра а, быстро сходящейся к истинному значению со среднеквадратичным отклонением порядка Поэтому правило решения (10.7.11) быстро сходится к оптимальному правилу (10.7.6), а средний риск — к минимальному среднему риску (10.7.7).

Действительно, величина риска (10.7.2) для правила решения (10.7.11) при фиксированном значении равна

где учтено, что оценка из (10.7.10) заключена в пределах а сама величина в соответствии с результатами гл. 7 имеет плотность распределения вероятности

Вычисляя математическое ожидание величины из (10.7.12), которая зависит от случайной величины получим следующее выражение для среднего риска адаптивного байесова правила:

Из сравнения с (10.7.7) видно, что средний риск адаптивного байесова правила при точно совпадает с минимальным байесовым риском, при добавка к величине байесова риска сходится к нулю экспоненциально, как а при высокой стоимости потерь от невыполнения поставленной цели, эта добавка сходится к нулю по закону Такая быстрая сходимость, конечно, является следствием существования нерегулярной суперэффективной оценки для неизвестного параметра распределения вероятности. В регулярном случае имеет место обычное поведение риска адаптивного байесова правила, при котором отличие этого риска от минимального байесова чаще всего имеет порядок .