Глава 9. АППРОКСИМАЦИЯ ПРАВИЛ РЕШЕНИЯ
9.1. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Трудности, связанные с нахождением и особенно с реализацией оптимальных правил решения, даже в условиях полной априорной информации часто вынуждают прибегать к определенным упрощениям и вводить аппроксимацию правил решения некоторыми более или менее простыми процедурами обработки имеющихся данных наблюдения. Такой подход является традиционным для широко распространенных так называемых инженерных методов синтеза, когда структура системы обработки информации, или системы управления задается, а задачей синтеза является выбор неопределенных параметров этой структуры. При удачном ее задании получающиеся в этом случае результаты оказываются достаточно хорошими в том смысле, что средний риск, характеризующий синтезированную таким образом систему, мало отличается от минимального байесова риска для действительно оптимальной системы. В то же время ясна определенная ограниченность этого метода синтеза на хорошие результаты можно уверенно рассчитывать только в том случае, когда заданная структура правила решения (алгоритма обработки информации, системы и т. д.) или соответствует структуре байесова правила, или достаточно хорошо аппроксимирует его. Если же заданная структура далека от оптимальной, то даже при наилучшем выборе ее параметров можно получить худшие «ли просто никуда не годные результаты. Тем не менее этот подход, безусловно, пригоден прежде всего из-за большей простоты достижения конкретных результатов и достаточно широко распространен на практике.
Еще больше его значение в условиях априорной неопределенности, когда из-за отсутствия всей необходимой априорной информации найти оптимальное байесово правило решения невозможно. В этом стучае уместно сразу пойти на определенные упрощения правила решения, точнее, на придание ему большей определенности, задав его структуру с точностью до ряда неизвестных параметров, и оптимизировать значения последних, используя ограниченные априорные сведения либо непосредственно имеющиеся данные наблюдения.
Применению подхода, основанного на аппроксимации правил решения, посвящена чрезвычайно обширная литература. Пожалуй, наиболее старым примером является классическая теория линейной фильтрации, в которой правило решения задается в виде линейного оператора над данными наблюдения, а сам оператор или сокращенное число его параметров выбирается с использованием ограниченных априорных сведений I (о виде функций корреляции фильтруемых процессов). Подробное разъяснение смысла решения задачи линейной фильтрации как задачи синтеза в условиях ограниченных априорных знаний будет приведено в § 9.3. В последние годы идеи этого подхода стали широко применяться и к случаю, когда выбор параметров аппроксимирующего правила решения осуществляется с использованием имеющихся данных наблюдения, полученных непосредственно при рабочем шаге, когда принимается решение или предварительно, в процессе так называемого обучения. Наиболее основательное и подробное рассмотрение этого случая приведено в работах [39, 40], где исследованы как общие закономерности
построения соответствующих правил, так и многочисленные примеры их применения к конкретным задачам. В данной книге мы не претендуем на сколь-нибудь подробное изложение этих результатов; наша основная цель — интерпретация рассматриваемого подхода с позиций теории решений, поскольку такая интерпретация представляется полезной с точки зрения возможности получения новых конкретных результатов и поскольку соответствующие взаимосвязи в работах [39, 40] и других, к сожалению, не всегда прослеживаются достаточно четко.
