10.5.2. Измерение скорости тела при наличии сил сопротивления

Рассмотрим задачу измерения скорости тела, движущегося под действием постоянной силы и испытывающего сопротивление, зависящее от скорости. Уравнение движения имеет вид

Параметры входящие в это уравнение, будем считать неизвестными. Примером подобной задачи может быть свободное падение тела в атмосфере при неизвестном ускорении свободного падения а и неизвестной плотности атмосферы либо при неизвестном коэффициенте сопротивления тела, что влечет за собой незнание параметра Только во избежание громоздкости записи мы будем считать, что силы, действующие на тело, не зависят от координат. При желании легко учесть изменение силы тяжести и плотности атмосферы с изменением координат. Также ради простоты будем считать движение одномерным.

Предположим, что результатом наблюдения является совокупность единичных замеров скорости

где момент измерения; нормально распределенные независимые случайные величины с дисперсией

Дифференциальному уравнению (10.5.17) соответствует рекуррентное соотношение

где Дополняя неизвестными параметрами получаем полный вектор измеряемых параметров для которого

матрица а матрица определяется выражением

Соответственно матрица

а вектор

Подставив эти выражения в рекуррентное соотношение (10.4.21), получим следующий алгоритм определения скорости и неизвестных параметров

где — элементы симметричной матрицы которая в соответствии с соотношением (10.4.22) и выражением (10.5.21) для матрицы определяется в данном случае соотношениями (индексы 1, 2, 3 относятся к соответственно)

Эти рекуррентные соотношения совместно с (10.5.24) окончательно определяют алгоритм оценки скорости при незнании коэффициентов дифференциального уравнения (10.5.17), т. е. при незнании количественных параметров сил, действующих на тело. Если какой-либо из параметров а или известен, то соответствующие этому параметру строку и столбец матрицы следует заменить нулями. При этом число рекуррентных соотношений сокращается с девяти до пяти и алгоритм оценки скорости, естественно, упрощается.

Корреляционная матрица ошибок оценивания получается решением системы уравнений (10.5.25) при замене в них оценочных значений истинными. Если для простоты считать, что не зависят от т. е. то ошибка измерения полезного параметра — скорости определяется выражениями

при малом времени измерения, когда и

при большом времени наблюдения когда происходит стабилизация скорости тела