5.3. ОГРАНИЧЕННЫЕ СВЕДЕНИЯ О МНОЖЕСТВЕ ДОПУСТИМЫХ ЗНАЧЕНИЙ

Аналогичные предыдущим результаты получаются в том случае, когда априорная информация относительно X ограничена знанием только множества допустимых значений При этом наименее предпочтительное распределение, естественно, обращается в нуль для а минимаксное решение в довольно широких условиях совпадает с оценкой максимального правдоподобия, вычисленной при нахождении максимума функции правдоподобия по ограниченному множеству значений Рассмотрим для примера достаточно важный и широко распространенный на практике случай, о котором шла речь в § 3.1, когда допустимое множество значений ограничено совокупностью гиперповерхностей в -мерном пространстве, задаваемых с помощью соотношения

где некоторая векторная функция векторного параметра который может принимать любые значения в -мерном евклидовом пространстве.

В этом случае функция правдоподобия для интересующих нас значений где множество задается с помощью (5.3.1),

является фактически функцией только параметра а. Подобно этому функция потерь

тоже является функцией параметра а. Поэтому, если для параметра существует такая достаточная статистика что аналогично (5.2.2)

и для решения функция потерь (5.3.3) может быть представлена в виде

где симметричная функция разности то совершенно аналогично § 5.2 доказывается, что правило решения

является минимаксным правилом — минимаксной оценкой вектора X (соответственно достаточная статистика является минимаксной оценкой векторного параметра а). Наименее предпочтительное распределение X в данном случае — равномерное распределение на множестве заданном соотношением (5.3.1).

Достаточная статистика как следует из (5.3.4), является также оценкой максимального правдоподобия а и может быть найдена из соотношения

в котором максимизация по а производится для всех возможных значений а, принадлежащих -мерному евклидову пространству.

Важным частным случаем рассматриваемой задачи является случай, когда множество совокупность некоторых гиперплоскостей -мерного пространства При этом функции линейные, т. е.

где некоторая матрица порядка а оптимальная минимаксная оценка X имеет вид

где - оценка максимального правдоподобия параметра а.

Представление (5.3.5) для функции потерь в этом случае автоматически имеет место, если -произвольная симметричная функция разности

Ход рассуждений при получении решений (5.3.6), (5.3.9) совсем не требовал, чтобы пространство значений X было конечномерным. Очевидно, полученные результаты справедливы и тогда, когда это пространство имеет более сложную структуру. Например, пусть нас интересует задача оценки функции на интервале причем этот интервал может быть и бесконечным. В этом случае множество значений X — функциональное пространство. В свою очередь, функция может быть векторной, т. е. где число компонент этой векторной функции. Ограничения на множество возможных значений X (5.3.1) при этом принимают вид

где скалярная либо векторная функция времени и параметра а решение — оценка функции

где -оценка максимального правдоподобия для параметра а, получаемая из соотношения

"Таким образом, решение (5.3.11) дает оптимальный минимаксный алгоритм фильтрации (построения оценки функций времени) для широкого класса задач, в которых искомые в процессе фильтрации функции быть описаны с помощью зависимости (5.3.10), содержащей произвольное число полностью неизвестных параметров Примеры подобного описания на практике весьма многочисленны: траектория движения объекта, для которого дифференциальные уравнения движения известны, а «начальные условия неизвестны; процессы, соответствующие уравнениям движения, которые содержат какие-либо неизвестные параметры или коэффициенты, и т. д.