Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
5.4. ОГРАНИЧЕННЫЕ СВЕДЕНИЯ О СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИКАХРассмотрим теперь случай, когда в соответствии с § 3.1 ограниченные априорные сведения о X заключаются в знании ряда статистических характеристик X (а не полного распределения вероятности), таких, как среднего значения, дисперсии, корреляционной матрицы и т. д., т. е. математических ожиданий некоторой совокупности функций
индекс Для отыскания минимаксного правила решения с учетом заданных ограничений на класс о возможных распределений вероятности X воспользуемся соотношением (5.1.1) и найдем наименее предпочтительное распределение из этого класса. Тогда байесово правило решения для этого распределения X будет минимаксным. Ограничимся случаем непрерывных множеств X и и. Пусть
где
Вычислим вариацию функционала
где
то из условия обеспечения минимума
Поэтому второе слагаемое в (5.4.4) обращается в нуль при любой
которое позволяет сформулировать следующее правило нахождения наименее предпочтительного распределения: — для того чтобы распределение с плотностью вероятности Это утверждение обобщает требование независимости условного риска от X, вытекающее из теоремы Вальда, при полном отсутствии априорных сведений о Рассмотрим один из таких примеров, когда
а в остальном распределение X неизвестно и может быть произвольным. При этом
где множители
Таким образом, оценка
Покажем, что при некоторых предположениях наименее предпочтительным является нормальное распределение k. Пусть функция потерь квадратичная, т. е.
где
где
где математическое ожидание вычисляется при фиксированном k. Она характеризует рассеяние оценки максимального правдоподобия и потенциально достижимую точность оценивания к в отсутствие всяких априорных сведений о k. Обратная ей матрица Рассмотрим нормальное распределение вероятности X с корреляционной матрицей
где
где матрица
Найдем теперь условный риск для этого правила решения:
где I — единичная матрица; Как видно из (5.4.15), условный риск имеет требуемый вид (5.4.7). Это означает, что нормальное распределение вероятности является наименее предпочтительным, а сама оптимальная оценка имеет вид (5.4.13), т. е. является линейным преобразованием оценки максимального правдоподобия. Матрица линейного преобразования С зависит от корреляционной матрицы Минимаксный риск для заданного класса о распределений вероятности X имеет следующее значение:
где Представление функции правдоподобия (5.4.10) заведомо выполняется в том случае, когда Если при этом известна корреляционная матрица X, то этому случаю соответствует известная постановка задачи линейной фильтрацил. Ее винеровское решение имеет вид (5.4.13), (5.4.14), а полученные выше результаты позволяют установить минимаксный смысл этого решения: если никаких других сведений о X, кроме корреляционной матрицы, нег" то никакого лучшего (в смысле квадратичной функции потерь) по сравнению с линейным оператором (5.4.13) оператора фильтрации не существует и только более подробные статистические сведения могут привести к изменению структуры оптимального оператора фильтрации. Можно проиллюстрировать использование уравнения
При переходе к непрерывному времени это будет означать задание среднего квадрата производной процесса Уравнение (5.4.6) при этих ограничениях на распределение X принимает вид
Если задан второй момент для начального значения
и с равномерным распределением для начального значения
|
1 |
Оглавление
|