4.4. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ПРАВИЛАМИ РЕШЕНИЯ, ПОЛУЧЕННЫМИ НА ОСНОВЕ РАЗЛИЧНЫХ ПРИНЦИПОВ ПРЕДПОЧТЕНИЯ

В § 4.3 по ходу рассмотрения уже отмечались некоторые соотношения между правилами решения, следующими из того или иного принципа предпочтения. Для более полного уяснения их относительного качества рассмотрим ряд дополнительных соотношений. Заметим еще раз, что, конечно, самым хорошим является равномерно наилучшее правило решения, которое при любом дает такой же риск, как байесово правило решения с известным Если равномерно наилучшее правило существует, то оно может быть найдено при использовании любого из рассмотренных принципов предпочтения.

Между минимаксиминным правилом решения и минимаксным правилом решения существует соотношение

которое следует непосредственно из определения этих решений. Соотношение между ними показано на рис. 4.4. При некоторых риск минимаксиминного правила решения превышает риск минимаксного правила, а при некоторых-—имеет меньшие значения.

Аналогичному соотношению удовлетворяет и правило решения получаемое минимизацией усредненного риска при любой мере

Типичное поведение риска по отношению к риску минимаксного правила решения в зависимости от показано на рис. 4.4, где приведена также зависимость от минимального байесова риска соответствующего известному

В то же время правила решения удовлетворяют при любой мере соотношению

которое следует из определения правила решения Равенство в (4.4.3) может достигаться только для наименее предпочтительной в соответствии с определением (4.3.10) меры Из соотношений (4.4.2), (4.4.3) следует, что максимум риска по для правила решения не меньше, чем для минимаксного, а усредненное значение риска не больше. Особый интерес представляет случай, когда в (4.4.2) достигается равенство, т. е. риск правила решения не превосходит риска минимаксного правила. При этом очевидно, что правило равномерно относительно лучше (по крайней мере не хуже) минимаксного правила и следует отдать ему предпочтение. Это обстоятельство является хорошим доводом в пользу принципа минимизации усредненного риска.

Рис. 4.4. Зависимость среднего риска от для различных правил решения: 1 — байесово; 2 — минимаксное; 3 — минимаксиминное, 4 — минимизации усредненного риска.