13.2.1. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ СИГНАЛОВ ОТ НЕИЗВЕСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ

Многие задачи, представляющие практический интерес, сводятся к распознаванию при приеме в шумах сигналов видов

где — заданные функции времени

При наблюдении в дискретные моменты времени

где

Учитывая, что в данном случае

уравнения (13 2.7) можно переписать в виде

где

Обозначая -матрицу из элементов -матрицу из элементов оценки максимального правдоподобия векторов находим как

Подставляя (13 2.10) и (13.2.13) в (13.2.6), имеем

где обозначено

и использовано то обстоятельство, что

и аналогично а также

и аналогично

Оптимальный алгоритм распознавания сводится к сравнению логарифма отношения правдоподобия (13.2.14) с порогом С. При превышении этой величиной порога принимается решение о наличии сигнала в противном случае — решение о наличии сигнала При применении метода минимизации апостериорного риска, изложенного в § 6 5, порог С находится как

где

априорные распределения для параметров которые по предыдущему приближению заменяются на соответственно, а диапазоны изменения отдельных составляющих векторов

Матрицы определяются как

и после вычислений имеют вид

В результате величина порога

Следует еще раз напомнить, что задача нахождения порога С носит менее принципиальный характер, чем задача определения функции от наблюдаемого сигнала, сравниваемой с порогом. При разных частных подходах к оптимизации решающего правила при наличии априорной неопределенности пороги будут меняться. Так, например, при применении адаптивного байесова подхода, изложенного в § 6.2, порог получится из (13.2.16), если в нем положить и будет иметь тот же вид, что и при отсутствии априорной неопределенности, а именно

Величина (13.2.14), сравниваемая с порогом в данной задаче, является точно минимальной достаточной статистикой (§ 4.5), чем и определяется принципиальный характер ее нахождения при любых частных подходах к оптимизации распознающей системы.

Для получения квазиоптимального алгоритма распознавания при непрерывном наблюдении сигналов применим прием, совершенно аналогичный § 12.3. Имея в виду, что шум обладает полосой так что где спектральная плотность шума в указанной полосе, совершим формально предельный переход в полученных выше выражениях при Разумеется, все оговорки, сделанные в § 12.3, остаются в силе и в рассматриваемом случае. Если при этом обозначить

то правило принятия решения о наличии сигнала имеет вид

где С находится по предыдущим формулам.

Во многих практических задачах соблюдается условие ортогональности отдельных составляющих сигналов. В результате

и

т. е. матрицы диагональны, и алгоритм (13.2.21) принимает вид

где С определяется формулой (13.2.19), в которой

Функциональная схема устройства, распознающего сигналы, соответствующая алгоритму (13.2.23), представлена на рис. 13.1.

Рис. 13.1. Функциональная схема устройства распознавания квазидетерминированного сигнала в шуме: 1 — усилители с переменными усилениями усилители с переменными усилениями интеграторы, 4 — квадраторы; 5 — усилители (аттенюаторы) с усилениями усилители (аттенюаторы) с усилениями ; 7 - реле.

Принимаемый сигнал умножается на генерируемые в распознающем устройстве элементарные сигналы или, что то же самое, подается на усилители с переменными соответствующим образом изменяющимися коэффициентами усиления. Получающиеся сигналы интегрируются за время наблюдения, квадратируются, умножаются на весовые коэффициенты, складываются по группам, соответствующим двум конкурирующим видам сигналов. Результаты такого суммирования вычитаются друг из друга, а результат вычитания сравнивается с порогом.

Рассмотрим два примера.

Пример 1. Декодирование сигналов с неизвестными амплитудами. При передаче сообщений по линиям связи часто первичное кодирование двоичных символов осуществляется с помощью применения некоторых заданных видов сигналов которые обычно бывают ортогональными. Например, это могут быть синусоидальные сигналы различных частот. Однако амплитуды этих сигналов на практике часто бывают неизвестны. Это связано, например, с замираниями радиосигналов при распространении, со случайными колебаниями

напряжений источников питания и т. д. В результате, если обозначить эти амплитуды приходим к рассмотренной в данном параграфе задаче при Ьсли обозначить

и считать, как это обычно бывает, что а диапазоны изменения амплитуд то функциональная схема рис. 13.1 принимает вид рис. 13.2, где порог С определяется согласно (13.2.19) как

Рис. 13.2 Функциональная схема декодирования сигналов с неизвестными амплитудами: 1 — усилитель с переменным усилением усилитель с переменным усилением 3 — интеграторы; 4 — квадраторы; 5 — реле.

Пример 2. Различение высокочастотных сигналов с неизвестными амплитудами и фазами. Различаемые при приеме в шумах высокочастотные сигналы могут иметь помимо неизвестных амплитуд еще и неизвестные фазы. Рассмотрим, например, случай, когда эти сигналы представляются в виде

где заданные законы амплитудной модуляции различаемых сигналов. Будем полагать, что являются медленно меняющимися по сравнению с функциями. В данном случае

Элементы матриц находятся как

Здесь принято, что

Будем считать, что Тогда порог и функциональная схема оптимальной системы распознавания сигналов принимает вид рис. 13.3.

Принимаемый сигнал гетеродинируется с помощью двух гетеродинов с частотами и . В каждом случае образуется по два квадратурных канала, в которых получаемые после гетеродинирования напряжения умножаются на соответствующие законы амплитудной модуляции (стробируются при импульсной модуляции).

Рис. 13.3. Функциональная схема различения сигналов с неизвестными амплитудами и фазами: 1 — гетеродин частоты гетеродин частоты фазовращатели генератор генератор интеграторы; 7 — квадраторы; 8 — реле

После интегрирования за время наблюдения и квадратирования выходные величины квадратурных каналов складываются, а результаты сложения, соответствующие двум проверяемым гипотезам, вычитаются один из другого. Получающаяся величина сравнивается с порогом.