1.2. СТАТИСТИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ

Синтез оптимальных динамических систем давно является одним из основных разделов их теории. Однако его сущность довольно резко менялась в зависимости от видов решаемых задач. Так, при инженерном проектировании различных технических систем и устройств под синтезом часто понимают выбор параметров устройств заданных видов. Этот выбор должен удовлетворять тому или иному частному критерию оптимальности, связанному с предъявляемыми к устройству техническими требованиями.

При развитии теории линейных систем с постоянными параметрами под синтезом часто понимали нахождение вида и параметров линейной системы, обеспечивающей максимальное быстродействие при заданной степени устойчивости. Степень устойчивости определялась видом частотной характеристики системы, с которым связана возможность самовозбуждения при малых изменениях параметров, а быстродействие определялось видом реакции системы на единичный перепад или единичный импульс.

В рамках детерминистской теории различных видов систем применялись и многочисленные другие подходы к их синтезу. Во всех случаях эти подходы связаны с минимизацией или максимизацией некоторого критерия качества выбором вида или параметров системы при заданных ограничениях, которые могут иметь разнообразный вид.

При нахождении оптимальных динамических систем, подверженных случайным воздействиям, применение критериев качества, связанных с реакцией на возмущения заданных видов, очевидно, бессмысленно. Для таких систем применяют статистические критерии качества, с помощью которых оценивают выходные эффекты в среднем для большого числа реализаций процессов на входах системы. Часто применяемыми примерами таких статистических критериев качества являются: отношение мощности сигнала к мощности шума или энергии сигнала к спектральной плотности шума на выходе приемника; величина среднего квадрата ошибки оценки (или измерения) некоторой физической величины; вероятности ошибок при проверке всевозможных гипотез; среднее время до принятия решения с заданными вероятностями ошибок при нефиксированном времени наблюдения случайных входных величии (при применении последовательного анализа, описанного в гл. 11); квадратичная форма, описывающая корреляции ошибок фильтрации некоторого случайного процесса из его смеси с шумом.

Синтез оптимальных систем при случайных входных воздействиях сводится к выбору параметров или вида систем, минимизирующих или максимизирующих соответствующие статистические критерии качества. Это и называется статистическим синтезом динамических систем.

К статистическому синтезу могут быть отнесены такие известные задачи, как выбор оптимальной полосы пропускания приемника заданного вида для обеспечения максимума отношения сигнал/шум; выбор вида оптимального линейного фильтра этого приемника для еще более качественного решения той же задачи; решение классической задачи фильтрации случайного сигнала из аддитивной его смеси со случайным шумом при известных их корреляционных функциях и при применении критерия минимума среднеквадрэтической ошибки фильтрации в каждый данный момент времени.

Применяются разные методы статистического синтеза Это связано с многообразием видов задач и систем, а также конкретных частных критериев их оптимальности. Мы не будем здесь останавливаться на обзоре этих методов, так как описание и сопоставление многих из них в современных сложных условиях, при которых должны решаться задачи синтеза, содержатся в последующих главах.

Подчеркнем весьма важные для дальнейшего изложения обстоятельства. Из приведенного в предыдущем параграфе определения информационных систем вытекает, во-первых, что их синтез может быть только статистическим, ибо эти системы обязательно подвержены случайным входным воздействиям и их работа связана с извлечением информации о случайных величинах, фактах, событиях. Во-вторых, каждая информационная система выполняет какие-то вполне определенные функции и, следовательно, статистический критерий ее качества должен быть связан с этими функциями, а не выбираться произвольно Эти рассуждения приводят к очень важным общим выводам, которые дают возможность найти единый для всех информационных систем подход к их статистическому синтезу, а не ограничиваться различными подходами, возникающими при решении частных задач.

Такой общий подход был предложен А. Вальдом [9] и назван теорией статистических решений. Его формулировка не связана с конкретными видами задач, решаемых информационными системами или конкретными критериями их оптимальности, он подходит как к нахождению оптимальных параметров систем заданных видов, так и к поиску самих этих видов оптимальных систем С помощью общих критериев теории решений могут быть не только синтезированы оптимальные информационные системы, но и единым образом проанализированы качества как оптимальных, так и многочисленных неоптимальных систем. Эта теория дает также возможность с единых позиций сопоставить различные подходы к синтезу оптимальных систем, подверженных случайным воздействиям, и в качестве частных случаев получить результаты, соответствующие этим подходам.

Оставляя более подробное изложение сущности теории статистических решений до гл. 2, отметим здесь лишь следующее В информационных системах, являющихся системами принятия решении, при любых их конкретных функциях за счет случайности входных воздействий возникают ошибочные решения Эти ошибки, а также правильные решения приводят к некоторым последствиям: потерям или выигрышам. Если бы это было не так, то вид системы или способ выполнения ее функций был бы безразличен и понятия оптимальности системы не существовало. Будем для конкретности говорить о потерях, возникающих при принятии решений В силу случайности ситуации, выявляемых для принятий решений, сигналов, несущих информацию об этих ситуациях, и самих принимаемых решений, потери также случайны. Теория решений связана с минимизацией средних значений этих потерь, получаемых при разных способах осреднения, зависящих от знания законов распределения вероятностей случайных величин, по которым производится осреднение. В частности, при полном знании всех вероятностных мер на множествах, соответствующих рассматриваемым задачам, или, иначе, при полной априорной определенности минимизируется безусловное среднее значение функции потерь, называемое средним риском Соответствующее оптимальное решение, определяющее наилучшую информационную систему или процесс, в ней происходящий, называется

байесовым решением. В очень многих задачах, связанных со статистическим синтезом информационных систем, имеет место полное априорное знание и, следовательно, по крайней мере в принципе могут быть найдены байесовы решения. На этом пути получено очень большое количество результатов, относящихся к разным областям знаний.

По-видимому, одной из первых областей, в которых была успешно применена теория статистических решений при полной априорной определенности, была теория радиолокации. Затем теория решений распространилась на другие области приема и обработки информации и, наконец, стала применяться в наиболее сложных задачах автоматического управления объектами, наблюдениями, экспериментами и т. д.

Однако так же, как в свое время от решения детерминистских задач в частных областях технических наук и в их обобщениях пришли к решению стохастических задач, в настоящее время происходит переход от решения задач с полной априорной определенностью к задачам с априорной неопределенностью. Под этим термином понимается незнание или неполное знание законов распределения различных случайных величин, от которых зависят принимаемые информационными системами решения. Вопросам синтеза в условиях априорной неопределенности посвящена эта книга, поэтому остановимся на объяснении их сущности и особенностях решений и систем, получающихся в этих условиях, более подробно.