10.6.2. Стабилизация скорости движения объекта при наличии сил сопротивления

Рассмотрим задачу стабилизации скорости объекта, на который действует постоянное ускорение и ускорение, обусловленное силами сопротивления и зависящее от квадрата скорости. Задачу измерения скорости такого объекта при отсутствии управляющего воздействия мы рассматривали в п. 10.5.2 в предположении, что величины постоянного ускорения а и коэффициента сопротивления неизвестны. Пусть теперь к тому же объекту приложено управляющее воздействие. Тогда уравнение, описывающее изменение состояний объекта, — скорости в соответствии с (10.5.19) будет иметь вид

где управляющее воздействие, имеющее смысл приращения скорости, сообщаемого объекту за время Целью управления является стабилизация скорости объекта около заданного значения с минимальным среднеквадратичным уклонением. Кроме того, будем считать, что затраты на реализацию управления величиной характеризуются некоторой функцией имеющей ту же меру, что квадрат отклонения скорости от заданного значения. Таким образом, будем считать, что функция потерь имеет вид

Оценки скорости и параметров определяются рекуррентными соотношениями п. 10.5.2, в которых в соответствии с переходом от (10.5.19) к (10.6 26) следует заменить на а апостериорный риск (10.6.11) определяется выражением

где слагаемое не зависит от и не влияет на выбор оптимального управления

Если функция дифференцируема, то оптимальное значение выбирается из уравнения

которое в зависимости от вида функции может быть решено аналитически или численно. Так, например, если затраты на реализацию управления линейно зависят от величины приращения скорости, сообщаемого объекту, т. е. то

Если , то

и т. д. Если функция недифференцируема, то отыскание минимума апостериорного риска несколько усложняется, однако из-за простоты его функциональной зависимости от не ведет к сколь-нибудь серьезным трудностям. В любом случае оптимальное управляющее воздействие является функцией только от величины

которая представляет собой оптимальное управляющее воздействие при отсутствии ограничений и нулевых затратах на реализацию управления Пусть, например, затраты на реализацию управления определяются следующей разрывной функцией:

Тогда оптимальное значение будет следующим:

т. е. является линейно-ломаной функцией

Наряду или вместо задания затрат на реализацию управления в виде аддитивной добавки в функции потерь (10.6.27) могут быть заданы ограничения непосредственно на область допустимых значений Пусть, например, а управляющее воздействие может выбираться равным только одному из трех возможных значений где некоторая константа. Эти ограничения соответствуют, например, случаю, когда тяга двигателя, используемого для стабилизации скорости объекта, постоянна; интервалы одинаковы,

а управление осуществляется путем включения или невключения двигателя и реверсирования направления тяги. Оптимальный закон управления в данном случае принимает вид

и также зависит только от значения из (10.6.32).