13.3.3. Различение сигналов с неизвестными амплитудами

Воспользовавшись полученными результатами, найдем вероятности распознавания ортогональных сигналов с неизвестными амплитудами при приеме в шумах. Алгоритм оптимального распознавания таких сигналов был найден в примере 1 § 13.2.

Благодаря ортогональности сигналов при непрерывном их наблюдении

и соблюдаются условия (13 3 59). Поэтому при нулевом пороге справедливы формулы (13.3 62) и

где

— отношения энергий сигналов к спектральной плотности шума, а истинные значения неизвестных амплитуд сигналов.

В данном случае, однако, нет необходимости пользоваться таблицами распределения Фишера, так как вероятности могут быть вычислены следующим образом. Согласно (13 3 62)

где и С — нормально распределенные независимые случайные величины с математическими ожиданиями и дисперсиями их совместная плотность вероятности. Область интегрирования в (13.3.66) обозначена и заштрихована на рис. 13.7. Перейдем к новым переменным:

Величины распределены по нормальному закону, причем

В результате совместная плотность вероятности для

и искомые вероятности находятся как

где интеграл вероятности.

Рис. 13.7 Область интегрирования в

Для сравнения рассчитаем вероятности правильных решений при известных амплитудах сигналов. В связи с тем, что эти вероятности при дискретных и непрерывных наблюдениях могут быть выражены одинаковыми формулами, перейдем при их выводе к дискретным наблюдениям. В этом случае при выполнении первой гипотезы

при выполнении второй

где известные величины, а распределены по нормальному закону и

Плотности вероятности для при выполнении первой и второй гипотез имеют соответственно вид

Составляя логарифм отношения правдоподобия и сравнивая его с нулевым порогом, имеем алгоритм принятия первой гипотезы в виде

Обозначим

и вычислим вероятность события, заключающегося в том, что

где - плотность вероятности величины

При выполнении первой гипотезы и при ортогональности

где

и ясно, что при переходе к непрерывным наблюдениям (13.3.77) превращается в (13.3.65).

Величина подчиняется нормальному распределению с математическим ожиданием и дисперсией Следовательно, согласно (13.3.75)

Отсюда вероятность правильного принятия первой гипотезы

Нетрудно также убедиться, что вероятность правильного принятия второй гипотезы

Вероятности построены на рис. 13.8 для

Рис. 13.8. Зависимость вероятностей ошибок от q: 1 - сигналы с известными параметрами; 2 — сигналы с неизвестными амплитудами; 3 — сигналы с неизвестными амплитудами и фазами.

Из рис. 13.8 видно, что незнание амплитуд сигналов приводит к заметному проигрышу в вероятности правильного решения (при больших вероятности правильных решений различаются в два раза).