9.11. ВЛИЯНИЕ КОНЕЧНОГО ОБЪЕМА СОВОКУПНОСТИ ЭМПИРИЧЕСКИХ ДАННЫХ НА РИСК ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЯ В РАБОЧЕЙ СИТУАЦИИ

Рассматривая в настоящей главе различные применения аппроксимации правила решения с выбором наилучшего значения с по совокупности эмпирических данных, мы не раз утверждали, что в силу сходимости найденного по эмпирическим данным значения к истинному оптимальному значению минимизирующему средний риск правило решения которым мы можем воспользоваться после нахождения в рабочей ситуации принятия решения и по наблюдениям х, сходится к наилучшему в классе (9.1.1) правилу решения Отсюда следует, что при правило решения будет давать ту же величину средного риска, что и правило т. е. обеспечить минимальное (для класса правил решения значение среднего риска Эти утверждения, конечно, справедливы и тем не менее весьма существенно знать, насколько величина среднего риска для правила решения при конечном значении превышает его минимальное значение

Оценка этой разницы дает основание судить о качестве приближения с точки зрения основной интересующей нас величины — ожидаемых потерь, позволяет сформулировать требования к объему эмпирических данных и, если нужно, продолжить набор эмпирической статистики для улучшения степени приближения.

Итак, пусть по данным наблюдения х принимается решение и в соответствии с правилом где параметры выбраны по совокупности эмпирических данных объемом Случайность потерь от принятия этого решения обусловлена двумя факторами: обычными — связанными со случайностью данных наблюдения х и скрытых параметров К определяющих последствия от принятия решения, и случайностью значения обусловленной случайностью эмпирических данных. Условное математическое ожидание потерь при фиксированном значении есть значение функции среднего риска для правила решения (9.9.1) при т. е.

Для получения полного среднего риска — безусловного математического ожидания функции потерь — эту величину нужно усреднить по , т. е.

найти значение

Используя малость отклонения и равенство будем иметь

где использовано обозначение матрицы В (9.10.8) и разности с заменой на с. Вычисляя в этом выражении математическое ожидание, получаем следующее приближенное выражение:

где

— корреляционная матрица разности

Второй член в (9.11.1) дает поправку к минимальному значению среднего риска за счет конечного объема совокупности эмпирических данных и характеризует степень приближения к оптимальному в классе (9.1.1) правилу решения. Корреляционная матрица ограничена снизу корреляционной матрицей из (9.10.12), для которой величина приращения среднего риска равна

Такая степень увеличения риска достигается, если при нахождении наилучшего значения по эмпирическим данным удается реализовать конечный метод, применяется точная итеративная процедура или используются рекуррентные соотношения типа (9.10.1) с наилучшей весовой матрицей

Если применяется упрощенная рекуррентная процедура с весовой матрицей то матрица в (9.11.1) заменяется на матрицу где определяется уравнением (9.10.28) при при