10.2.1. Измерение задержки сигнала с неизвестными амплитудами и фазами

Рассмотрим пример, в котором используются смешанные методы: точные для оценки «мешающих» параметров и рекуррентные либо итеративные — для «полезного» параметра. Пусть данные наблюдения х представляют собой отрезок реализации случайного процесса на интервале который является аддитивной смесью

гауссова «белого» шума со спектральной плотностью с некоторым сигналом вида

где период повторения; — известная комплексная функция времени определенная на интервале, равном периоду повторения и обращающаяся в нуль вне этого интервала; известная несущая частота сигнала; неизвестное запаздывание, которое является полезным параметром, подлежащим измерению; неизвестные амплитуды и фазы сигнала в соответствующих периодах повторения, которые являются «мешающими» параметрами, затрудняющими измерение задержки символ действительной части комплексного выражения. Будем также считать, что функция нормирована по амплитуде так, что

Фактически из-за свойств функции интегрирование в (10.2.8) проводится по интервалу, равному периоду

Статистическое описание данных наблюдения процесса задается функционалом отношения правдоподобия, который при

фиксированном сигнале для «белого» шума имеет вид

Подставляя в из (10.2.7), получаем функцию правдоподобия

которая помимо X зависит от совокупности дополнительных параметров:

В (10.2.10) введено обозначение

Величина называется обычно корреляционным интегралом и может быть получена как выход линейного фильтра с импульсной реакцией взятый в момент при подаче на его вход сигнала Реализация схем, обеспечивающих формирование корреляционного интеграла для различных подробно рассмотрена в литературе по радиолокации.

Важно отметить, что благодаря обращению в нуль функции вне интервала длительностью случайная величина фактически зависит только от отрезка реализации на интервале той же длительности, содержащем точку или примыкающем к этой точке.

На совокупность параметров а, в зависимости от имеющихся априорных сведений, могут быть наложены те или иные ограничения. Например, может оказаться известным, что все одинаковы или только одинаковы, различны и т. д. Мы рассмотрим крайний случай априорной неопределенности, когда подобные сведения полностью отсутствуют. В этих условиях адаптивная оценка X определяется совместной максимизацией функции правдоподобия (10.2.10) по X и всем Соответствующие оценки определяются из уравнения

Логарифм функции правдоподобия (10.2.10) определяется выражением

где

Максимизация этого выражения по совокупности параметров а проводится точно. Действительно,

Это выражение с точностью до несущественного множителя совпадает с логарифмом функции правдоподобия для параметра в том случае, когда амплитуды и фазы независимы, распределены равномерно в интервале имеют релеевское распределение вероятности, что соответствует известной в радиолокации модели некогерентного периодического сигнала с независимыми релеевскими флюктуациями амплитуд. Таким образом, при использовании адаптивного байесова подхода полное отсутствие априорной информации о статистических свойствах амплитуд и фаз сигнала приводит к тем же конечным результатам, что и в байесовой задаче с известными равномерными для и релеевскими для распределениями вероятности

Оценка интересующего нас параметра задержки находится максимизацией выражения (10.2.15), для чего можно использовать как итеративную, так и рекуррентную процедуру. В любом случае для применения метода последовательных приближений (как в итеративной, так и в рекуррентной форме) требуется достаточно точное начальное приближение, поскольку является быстро убывающей функцией модуля разности где истинное значение задержки. Требования к точности начального приближения определяются видом функции автокорреляции сигнала

которая с точностью до множителя равна математическому ожиданию корреляционного интеграла при условии, что истинная задержка сигнала есть Функция зависит от примерно так же, как поэтому начальное приближение для оценки должно отличаться от истинного значения на величину

порядка где эффективная ширина квадрата модуля функции автокорреляции (10.2.16). Обычный способ нахождения начального приближения заключается в формировании набора величин для значений перекрывающих априорный диапазон изменения Я, и выбора в качестве этого приближения того значения для которого величина максимальна.

Выражение для логарифма функции правдоподобия из (10.2.15), очевидно, удовлетворяет основному рекуррентному соотношению (7.5.16) с функцией

Поэтому для нахождения оценки параметра Я могут быть использованы общие рекуррентные соотношения (7.5.27), которые с учетом (10.2.17) принимают вид

Хотя в принципе входящие в (10.2.18) производные могут быть сформированы точно, на практике часто может оказаться более удобным заменить их конечными приращениями, определив их выражениями

где некоторая величина, не превышающая ширину функции автокорреляции Эта замена требует одновременного формирования величины для нескольких значений Устройство, формирующее величину из (10.2.19), разумеется, давно известно в радиотехнике и называется временным дискриминатором или дискриминатором дальности (для случая, когда задержка является мерой расстояния до отражающего объекта при радиолокации).

Можно продолжить дальнейшую детализацию, например, рассмотрев различные, еще более упрощенные, способы формирования однако все эти детали можно найти в книгах по радиолокации и они уже ничего не прибавят к основному смысловому содержанию этого примера. Последнее, как уже подчеркивалось выше, заключается в переходе от (10.2.13) к (10.2.15), после которого можно вообще забыть о том, что исходная задача содержала какую-то априорную неопределенность, и, располагая действовать так, как если бы с самого начала была полностью известна функция правдоподобия для параметра , т. е. имелось полное статистическое описание.

Этот вывод распространяется на все те задачи с априорной неопределенностью, в которых удается найти точное значение максимума функции правдоподобия по лишним параметрам а при любых значениях . Практические последствия такой возможности весьма ощутимы — это существенное понижение размерности задачи (в рассмотренном примере с до единицы), что облегчает применение рекуррентных или итеративных методов. Из вида функции правдоподобия и рекуррентных соотношений (10.2.18) следует, что оценка

максимального правдоподобия параметра не зависит явно от величины спектральной плотности шума Таким образом, найденное правило решения — правило нахождения оценки — инвариантно относительно этой величины, т. е. априорная неопределенность значения не является существенной и совершенно безразлично, известна или нет величина спектральной плотности шума. Это обстоятельство иллюстрирует обсуждавшийся в гл. 4 вопрос о существенной и несущественной априорной неопределенности и возможности нахождения равномерно наилучших (в данном случае по отношению к неизвестной спектральной плотности шума) правил решения.