9.6. СЛУЧАЙ ПОМЕХИ С ИЗВЕСТНЫМИ КОРРЕЛЯЦИОННЫМИ СВОЙСТВАМИ

В рассмотренном выше примере была известна взаимная корреляционная матрица что и дало возможность найти зависимость имея только эмпирические данные для х, получить оценку оптимального значения линейного правила решения.

Приведем еще один пример такого рода, предполагая, что х представляет собой аддитивную смесь некоторого неизвестного полезного сигнала с помехой которая имеет известную корреляционную матрицу

и не коррелирована с т. е.

Пусть также параметр подлежащий оценке по данным наблюдения связан с полезным сигналом закодированным в данных наблюдения, линейным соотношением

где матрица порядка Различным способам ее задания соответствуют весьма разнообразные задачи линейной фильтрации. Так, задаче оценки последнего (или текущего) значения (обычная задача фильтрации) соответствует при задаче оценки сигнала в целом — задаче совместной оценки значений сигнала например, двух первых его производных в конце интервала наблюдения (в момент

где интервал времени, разделяющий последовательностные значения и матрица

Используя для оценки линейное правило решения для среднего риска этого правила с учетом (9.6.1) получаем

Последнее равенство в этой цепочке справедливо в силу того, что

благодаря отсутствию корреляции между полезным сигналом и помехой.

Из выражения (9.6.3) следует, что для получения оценки среднего риска достаточно располагать только набором эмпирических значений х, с помощью которых оценка находится как эмпирическое среднее функции

Как и в предыдущем примере, для получения этого среднего достаточно располагать эмпирической оценкой корреляционной матрицы определяемой так же, как в § 9.5, и с помощью которой наилучшее значение вычисляется по уравнению

прямым методом либо с помощью рекуррентного соотношения, аналогичного (9.5.3),

где — та же самая матрица, что в (9.5.3), (9.5.4). Аналогично (9.5.5) можно перейти от к матрице соответствующей процедуре стохастической аппроксимации Робинса — Монро, и, как и в предыдущем примере, рекуррентная процедура не имеет преимуществ перед конечным методом решения (9.6.5) в вычислительном отношении.

Замечание. В рассмотренных выше примерах матрица с, осуществляющая преобразование данных наблюдения х в оценку вектора к для линейного правила решения при выборе ее наилучшего значения предполагалась совершенно произвольной. Это обеспечивало сходимость найденного в условиях априорной неопределенности правила решения к наилучшему линейному правилу, полученному для случая известных статистических характеристик Однако, в свою очередь, полная свобода в выборе с требует нахождения эмпирических оценок всех элементов матрицы что при большой размерности вектора х приводит к довольно громоздким вычислениям, а при переходе к непрерывному времени, когда х представляет собой отрезок случайного процесса на некотором интервале времени (бесконечномерный вектор), делает задачу вообще неразрешимой, если не ввести каких-то дополнительных ограничений. При этом можно, конечно, наложить какие-либо ограничения на корреляционную матрицу так чтобы упростить задачу ее оценки, например задать ее параметрически с точностью до некоторого числа неизвестных параметров. Однако при таких ограничениях целесообразнее использовать более сильные параметрические методы адаптивного байесова подхода. Если же оставаться в рамках непараметрического описания априорной неопределенности и параметрического задания правила решения, которые мы

рассматриваем в настоящей главе, то следует подчинить дополнительным ограничениям множество допустимых матриц с, так чтобы задача имела разумную вычислительную сложность и при очень больших или даже бесконечных значениях

Довольно стандартным приемом, который часто используется даже при известных корреляционных матрицах является замена произвольного линейного преобразования линейной комбинацией некоторых стандартных преобразований вида

где матрица имеет порядок меньше или много меньше и сохраняет постоянное значение при увеличении или в случае перехода к непрерывному времени), а матрица имеет порядок и предполагается заданной для любых Задание правила решения в виде (9.6.7) уменьшает число неизвестных параметров этого правила, подлежащих оценке с помощью эмпирических данных, с до Физически (9.6.7) означает реализацию алгоритма фильтрации с помощью фильтров заданной структуры (совокупность этих фильтров описывается матрицей выходные величины которых

образующие вектор размерности

для получения оценки параметра суммируются с коэффициентами При переходе к непрерывному времени, когда данные наблюдения х представляют собой отрезок случайного процесса на интервале времени

вектор-столбец функций времени возможно зависящих также от или В частности, если фильтры, реализующие преобразование стационарны, то и представляет собой импульсную реакцию фильтра.

Задача нахождения наилучшего значения с в правиле решения (9.6.7) ничем не отличается от рассмотренной выше. Поскольку (9.6.7) и правило решения (9.3.1) тождественны с точностью до замены х в (9.3.1) на в (9.6.7), то во всех полученных ранее результатах нужно всюду заменить х на и тогда эти результаты определяют наилучшее значение с для правила решения (9.6.7). Само преобразование является средством понижения размерности исходных данных наблюдения.

Безусловно также, что правило решения (9.6.7) даже при самом лучшем выборе с может быть существенно хуже наилучшего линейного правила типа (9.3.1) и тем более оптимального правила решения. Поэтому переходить к упрощениям, подобным (9.6.7), следует с очень большой осторожностью.