2.3. РИСК

Задание вероятностных мер для возможных решений и, наблюдаемых данных и ненаблюдаемых параметров к, влияющих на величину потерь, позволяет заранее определить ожидаемое значение потерь

(выигрыша) от принятия решения путем вычисления различных мате матических ожиданий функции потерь Эти математические «ожидания, характеризующие потери в среднем, называются рисками и являются оценкой ожидаемых последствий принятия решения Выбор оптимального решения производится именно путем минимизации ожидаемых потерь, т. е. величин рисков

В зависимости от полноты усреднения при вычислении математического ожидания функции потерь вводится несколько различных рисков, которым соответствуют разные принципы выбора оптимального решения Если вероятностные меры для х и X известны, то для любой можно найти безусловное математическое ожидание функции потерь, которое является функционалом только от решающего правила — вероятностной меры называется средним риском. Для простоты записи будем в дальнейшем полагать, что вероятностные меры х и X задаются плотностями вероятности соответственно, что автоматически охватывает и случай дискретных распределений вероятности при использовании дельта функций Распространение последующих результатов на случай более общих вероятностных мер сводится только к изменению формы записи интегралов, определяющих математические ожидания

Итак, определяя математическое ожидание функции потерь получаем следующее выражение для среднего риска

где условная плотность вероятности принятия решения и при данном значении х, определяющая решающее правило Это выражение определяет величину потерь в среднем по всем возможным решениям и значениям (Здесь и далее при записи интегралов подразумевается, что интегрирование проводится по всему заданному множеству значений переменной интегрирования, в (2 3 1) по соответственно

Оптимизация правила принятия решения заключается в выборе такой функции или которая обеспечивает минимум среднего риска, определяемого линейным относительно функционалом (2.3.1)

При нерандомизированных решающих правилах, когда каждому х соответствует вполне определенное решение решающая функция имеет вид

и выражение для среднего риска можно переписать в следующей форме

Выражение (2.3.3) определяет среднюю величину потерь для любого заданного преобразования и которое принимает значения Средний риск является нелинейным функционалом решающей функции (правила принятия решения) а оптимизация состоит в выборе такой функции которая обеспечивала бы минимум этого функционала

Можно ввести также различные условные математические ожидания функции потерь Так, средняя величина потерь для данного

решения и определяется условным математическим ожиданием функции при заданном значении равным

или, если функция потерь не зависит от х

Величина определяет априорную оценку потерь, связанных с данным решением и, и характеризует те потери, которые будут в среднем иметь место при отсутствии данных наблюдения х или при отказе от их использования. Эта величина иногда называется априорным риском.

Наиболее важным для решения задач оптимизации является понятие апостериорного риска - условного математического ожидания функции потерь для данного решения и при данном значении х. Это математическое ожидание определяется формально путем усреднения функции потерь по апостериорному распределению вероятности для параметров которое находится с помощью формулы обращения

Байеса:

В отличие от априорного распределения апостериорное распределение описывает неопределенность в значениях к после наблюдения х. В дальнейшем будем употреблять сокращенное обозначение

Апостериорный риск определяется выражением

и представляет собой ожидаемое значение потерь от принятия решения соответствующее данному значению х, которое получается в процессе наблюдения, т. е. является оценкой последствий принятия данного решения и при данном значении х. Апостериорный риск является функцией решения и, так же как априорный риск и отличается этим от среднего риска, который является функционалом решающего правила (а не самого решения).

Средний и апостериорный риски связаны очевидным соотношением

или для нерандомизированных решающих правил

где значение апостериорного риска при а

— плотность распределения вероятности данных наблюдения х.

Наряду с апостериорным и средним рисками вводится понятие условного риска — условного математического ожидания функции потерь при заданном значении к (эта величина часто называется просто риском), которое определяется выражениями

соответственно для рандомизированных и нерандомизированных правил решения. Эта величина представляет собой оценку последствий от принятия решения в среднем по всем возможным значениям х, которые могут встретиться при наблюдении.