12.8. ОБНАРУЖЕНИЕ СЛУЧАЙНОГО СИГНАЛА НА ФОНЕ КОРРЕЛИРОВАННОЙ ЛОМЕХИ ПРИ НЕИЗВЕСТНЫХ ФУНКЦИЯХ КОРРЕЛЯЦИИ СИГНАЛА И ПОМЕХИ

Рассмотрим еще один пример адаптивного обнаружения в условиях большой априорной неопределенности, когда для получения нетривиального решения задачи необходимо иметь предварительные данные наблюдения, полученные в процессе «обучения». Пусть результатом наблюдения является отрезок реализации случайного процесса на интервале ( который может представлять собой либо помеху в виде стационарного гауссова случайного процесса со спектральной плотностью либо аддитивную смесь этой помехи со случайным сигналом, имеющим спектральную плотность Корреляционные функции помехи и сигнала, соответствующие этим спектральным плотностям, будем считать произвольными и удовлетворяющими единственному условию:

где — время корреляции помехи и сигнала.

Как известно [2], в этих условиях минимальная достаточная статистика (логарифм отношения правдоподобия), определяющая оптимальный алгоритм обнаружения, имеет вид

где отклик фильтра с частотной характеристикой квадрат модуля которой определяется выражением

при воздействии на вход этого фильтра наблюдаемого сигнала Решение о наличии сигнала принимается при превышении величиной заданного порога С.

Если спектральные плотности обладают определенной гладкостью, так что обе эти функции не испытывают резких скачков в пределах некоторого интервала частот (и, и при любом значении и, где то минимальную достаточную статистику можно представить в следующем эквивалентном виде:

где

— отношение спектральных плотностей сигнала и помехи на частоте

а — огибающая отклика фильтра с полосой и единичным коэффициентом усиления, настроенного на частоту при воздействии на вход этого фильтра наблюдаемого сигнала Суммирование в (12.8 4) производится по всем которым соответствует отличная от нуля спектральная плотность сигнала. Практически вклад в сумму и эффективность обнаружения сигнала дают те значения частот для которых отношения сигнал/помеха принимают относительно большие значения

При таком представлении реализация оптимального алгоритма обнаружения обеспечивается с помощью набора одинаковых полосовых фильтров (с полосой настроенных на частоты юг, накопления за время квадратов огибающих выходных сигналов этих фильтров и суммирования накопленных значений с весовыми коэффициентами

Очевидно, что совокупность величины представляет собой достаточную статистику при любых возможных спектральных плотностях сигнала и помехи, поэтому как в байесовой задаче, так и в условиях априорной неопределенности вполне законно вместо исходной реализации сигнала ограничиться рассмотрением только набора величин Нетрудно убедиться [2], что величины независимы и с точностью до коэффициента пропорциональности имеют -распределение с степенями свободы. При этом, если присутствует одна помеха

а если присутствует сигнал с помехой

где

Будем считать теперь, что спектральные плотности помехи и сигнала (соответственно величины равные для всех неизвестны. При этом совместное распределение вероятности совокупности величины при отсутствии сигнала

зависит от неизвестных параметров а при наличии сигнала

— от неизвестных параметров или где совокупность имеющихся данных наблюдения, число интервалов частот шириной

перекрывающих полный частотный диапазон в котором априори можно считать спектральную плотность сигнала отличной от нуля Как следует из (12.8.10) и (12.8.11), в первом случае число неизвестных параметров равно числу наблюдаемых величин, а во втором — вдвое больше. Поэтому данные наблюдения не только не содержат избыточной информации, но их просто не хватает для того, чтобы найти нетривиальные оценки неизвестных параметров, характеризующих априорную неопределенность, и получить какое-то нетривиальное правило принятия решения о наличии сигнала, отличное от чисто рандомизированного решающего правила без использования данных наблюдения.

В связи с этим рассматриваемая задача имеет нетривиальное решение только в том случае, когда наряду с данными наблюдения полученными на рабочем шаге принятия решения о наличии сигнала, имеются дополнительные данные, которые совместно с основными можно использовать для нахождения оценок неизвестных параметров. Будем считать, что такие «обучающие» данные получаются в процессе предварительного наблюдения реализации сигнала на интервале предшествующем рабочему интервалу наблюдения. При этом реализация на этом интервале обязана своим происхождением только помехе, а спектральная плотность последней на этом интервале достаточно точно совпадает со спектральной плотностью помехи на рабочем интервале . В реальных условиях, конечно, может иметь месте и нестационарность помехи, приводящая к изменению ее спектральной плотности от интервала к интервалу что налагает определенные требования на выбор длительности интервала «обучения» Последний выберем так, чтобы требования практической неизменности спектральной плотности удовлетворялись.

Интервалу «обучения» соответствует совокупность наблюдаемых данных где каждая из величин формируется по реализации входного сигнала на этом интервале так же, как формируется из на рабочем интервале а все величины в совокупности образуют достаточную статистику, информационно эквивалентную исходной реализации на интервале Их совместное распределение имеет вид, аналогичный (12.8.10), т. е.

с заменой на Обозначая полную совокупность имеющихся данных наблюдения через будем иметь следующее описание для плотностей распределения вероятности

этой совокупности при отсутствии и наличии сигнала на рабочем интервале наблюдения:

В соответствии с предыдущими результатами адаптивное правило решения имеет следующую структуру:

где максимизация производится по совокупности всех неизвестных в соответствующей ситуации параметров, порог сравнения. Будем считать также, что априорные вероятности наличия и отсутствия сигнала и цены ошибочных решений в данном случае неизвестны и используем далее для выбора дорога критерий Неймана — Пирсона. Поскольку оценки неизвестных параметров от не представляют самостоятельного интереса и максимизация в (12.8.15) может быть проведена по разным параметрам независимо (при этом в числителе удобно провести замену и рассматривать эту сумму как самостоятельный параметр), то для конкретизации вида (12.8.15) достаточно воспользоваться очевидным соотношением

с помощью которого величина может быть представлена в следующем виде:

Эта величина является минимальной достаточной статистикой для задачи обнаружения в условиях априорного незнания спектральных плотностей помехи и сигнала, аналогичной величине z из (12.8.4) при известных спектральных плотностях. Решение о наличии сигнала принимается, если величина z превышает пороговый уровень С.

Найдем теперь характеристики обнаружения — вероятности ложной тревоги и правильного обнаружения. При этом с целью оценки влияния априорной неопределенности рассмотрим сначала эти характеристики для байесовой задачи известных спектральных плотностей помехи и сигнала, когда решение о наличии сигнала принимается путем сравнения величины с порогом С. При больших значениях независимо от выбора величины величина z

распределена нормально при наличии и отсутствии сигнала [2], поэтому достаточно ограничиться нахождением математического ожидания и дисперсии величины z.

В соответствии с (12.8.8) и (12.8.7) при наличии сигнала

а при отсутствии сигнала

откуда следует, что

В наиболее интересном с практической точки зрения случае малого отношения спектральной плотности сигнала к спектральной плотности помехи

и характеристики обнаружения зависят фактически от одного параметра

имеющего смысл отношения сигнал/помеха на выходе оптимального приемника, формирующего достаточную статистику z.

Вероятности ложной тревоги и правильного обнаружения определяются по (12.8.20) или (12.8.21) следующими выражениями:

откуда получаем связь между

где -интеграл вероятности; -обратная ему функция. Подставив в (12.8.24) выражения (12.8.21) для малых найдем из него пороговое значение отношения сигнал/помеха необходимое для решения задачи обнаружения с заданными вероятностями

Проанализируем теперь случай неизвестных спектральных плотностей. Используем следующие из (12.8.18) и (12.8.19) представления

при наличии сигнала,

при отсутствии сигнала и

где — независимые случайные величины с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Подставляя эти представления в выражение для достаточной статистики z (12.8.17) и разлагая логарифмы по малым составляющим порядка с точностью до членов второго порядка, получаем, что при наличии сигнала величина z может быть представлена в виде

и при отсутствии сигнала

где — совокупность приближенно нормально распределенных независимых случайных величин с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Приближение к нормальному распределению для величин тем лучше, чем больше пит.

Таким образом, в тех же предположениях, что при отсутствии априорной неопределенности (большая величина произведения обеспечивающая выполнение условия либо либо выход адаптивного обнаружителя — величина (коэффициент не имеет принципиального значения и вводится только для того, чтобы воспользоваться стандартным распределением вероятности) будет иметь центральное -распределение с степенями свободы при отсутствии сигнала и нецентральное с параметром нецентральности

при его наличии. Вероятности ложной тревоги и правильного обнаружения определяются выражениями

где - функция распределения центрального, а нецентрального -распределения. Поскольку вероятность ложной тревоги в соответствии со структурой адаптивного алгоритма не зависит ни от каких неизвестных параметров помехи и сигнала, порог С может быть выбран в соответствии с критерием Неймана — Пирсона по заданной величине вероятности ложной тревоги

Исключая из (12.8.32), (12.8.33) величину С, получаем пороговое значение величины необходимое для решения задачи обнаружения

с заданными вероятностями ложной тревоги и правильного обнаружения в условиях незнания спектральных плотностей сигнала и помехи:

где функция, обратная интегральной функции распределения Это выражение для пороговой величины выходного отношения сигнал/помеха отличается от выражения (12.8.25) для байесова случая наличием множителя зависящего от соотношения длительностей "обучающей" и рабочей реализации наблюдаемого сигнала, и заменой функции функцией зависящей от числа интервалов разбиения априори ожидаемого частотного диапазона сигнала

Отношение характеризует энергетический проигрыш, обусловленный незнанием спектральных плотностей сигнала и помехи. Этот проигрыш зависит от достоверности данных, полученных при «обучении» — длины интервала и количества интервалов разбиения Уже при первый фактор не имеет существенного значения, поэтому брать интервал «обучения» длиннее, чем три-пять рабочих интервалов, практически не имеет смысла, поскольку это увеличивает опасность проявления нестационарности помехи. Естественно также, что увеличение необходимость в котором тем больше, чем меньше наши априорные представления о допустимой величине интервала частот в пределах которого можно считать спектральные плотности слабо изменяющимися, приводит к увеличению энергетического проигрыша, который является естественной платой за априорную неосведомленность о виде спектральных плотностей помехи и сигнала. Количественно это проигрыш получается относительно малым и зависит от заданных вероятностей уменьшаясь с увеличением и уменьшением т. е. он получается тем меньше, чем более высокое качество решения задачи обнаружения требуется.

Рис. 12.13. Характеристика обнаружения случайного сигнала на фоне коррелированной помехи при неизвестных функциях корреляции сигнала и помехи.

Величина отношения определяющая зависимость энергетического проигрыша от при и нескольких значениях вероятности ложной тревоги построена на рис. 12.13. Из него следует, что оптимальный в условиях априорной неопределенности алгоритм обнаружения даже при очень большом числе неизвестных параметров порядка 100—200), используемых для описания априорной неопределенности, дает относительно небольшой энергетический проигрыш по сравнению с байесовым алгоритмом.

Приведенный ряд примеров обнаружения сигналов в шумах при наличии неизвестных параметров тех или других можно было бы

продолжить, распространив их на более сложные случаи. Мы ограничились лишь простейшими задачами для иллюстрации применения предложенного выше адаптивного байесова решения. Во всех случаях получающиеся системы обнаружения можно трактовать как адаптивные, связанные с оценкой неизвестных параметров сигналов и шумов. Конечно, такая трактовка не является обязательной, ибо, подставляя в получающиеся алгоритмы явные выражения для оценок параметров «обстановки», мы получаем просто некоторые операции над принимаемым сигналом, которые и определяют алгоритм обнаружения. При этом в некоторых случаях алгоритмы совпадают с известными, полученными при полном априорном знании и с адаптацией не связанными. Нужно, однако, помнить, что здесь эти алгоритмы получились при наличии параметрически заданной априорной неопределенности с помощью оценки параметров «обстановки». Поэтому и подчеркивается их адаптивная сущность.