7.4.1. Оценки максимального правдоподобия параметров с ограниченным множеством значений

Важным специальным случаем нерегулярных оценок являются оценки максимального правдоподобия параметров при наличии ограничений на множество допустимых значений. Будем считать, что функция правдоподобия регулярна, так что в отсутствие ограничений мы имеем возможность найти регулярную оценку максимального правдоподобия которая при достаточно большом объеме совокупности наблюдаемых данных х является асимптотически достаточной и асимптотически эффективной оценкой параметра Рассмотрим, к каким особенностям с точки зрения характеристик точности приводит наличие ограничений на множество допустимых значений .

Обозначим это множество через не конкретизируя пока его структуру, и рассмотрим основное уравнение максимального

добия (7.1.2), подчеркнув в нем явно наличие ограничений на допустимое множество значений в:

Если множество имеет ненулевую меру (т. е. в является параметром с некоторой непрерывной областью значений), то решение этого уравнения — оценка максимального правдоподобия — либо совпадает с регулярной оценкой найденной без учета ограничений, либо лежит на границе множества . В первом случае принадлежит во втором во не принадлежит Эти соображения, несмотря на свой совершенно очевидный характер, являются тем не менее средством, которое позволяет сравнительно просто найти оценку в в том практически важном случае, когда найденная без учета ограничений оценка близка к эффективной.

В этом последнем случае функция правдоподобия

где информационная матрица Фишера, и уравнение максимального правдоподобия (7.4.27) эквивалентно уравнению

из которого, как и в общем случае, следует, что

Будем считать, что размер множества не мал по сравнению со среднеквадратичным разбросом регулярной оценки задаваемым матрицей

Для нахождения оценки 0 для случая, когда воспользуемся малостью отклонения которая позволяет заменить в окрестности минимизирующего значения границу множества гиперплоскостью (когда эта граница сама по себе представляет гиперплоскость, что соответствует наиболее распространенному типу ограничений, последующие приближения являются точными).

Пусть в окрестности точки граница множества задается уравнением гиперповерхности

Заменим ее гиперплоскостью

где

и найдем минимум в (7.4.29) с учетом ограничения (7.4.32) на допустимые значения 0 Используя метод Лагранжа, получаем

Это решение при нелинейной функции является, конечно, только первой итерацией, однако его точность достаточно велика. При необходимости можно вычислить следующее приближение, аппроксимировав

гиперповерхность гиперплоскостью вида (7.4.32) с заменой на , т. е. фактически вычислить уточненное значение оценки помощью выражения

где определяется формулой (7.4.34), а

и продолжить итерационный процесс далее.

Из-за ограничения множества допустимых значении оценка максимального правдоподобия получается смещенной. Величина смещения тем больше, чем ближе истинное значение к границе множества и достигает максимальных величин для значений , лежащих на границе этого множества. Однако полный средний квадрат ошибки оценивания не больше, чем при отсутствии ограничений. Для значений и лежащих достаточно далеко от границы, корреляции матрица ошибок оценивания практически совпадает с корреляционной матрицей ошибок при отсутствии ограничений, а для значении , близких к границе множества меньше ее. Для значений , лежащих на границе, величина среднего квадрата ошибки оценивания одной из компонент параметра или линейной комбинации компонент вида где а — вектор, совпадающий по направлению с нормалью к границе множества в точке, соответствующей истинному значению может быть в два раза меньше величины среднего квадрагг ошибки для регулярной эффективной оценки.

В целом оценки максимального правдоподобия при наличии ограничений на допустимое множество значений асимптотически лучше эффективных оценок при отсутствии ограничений, однако для непрерывного множества их «суперэффективность» невелика и проявляется только для значений , близких к границе допустимого множества

Рассмотрим теперь случай, когда множество имеет меру и состоит из отдельных изолированных точек Тогда оценка максимального правдоподобия имеет особенно прочую структуру:

т. е. совпадает с тем дискретным значением , для которого функция правдоподобия максимальна.

Фактически этот случай может быть проинтерпретирован как задача проверки многоальтернативной гипотезы о том, какому из дискретных значений , соответствует совокупность наблюдаемых данных х, по сейчас нам удобнее говорить именно о задаче оценки параметра с ограниченным набором дискретных точек множеством допустимых значений.

В условиях существования (при отсутствии ограничений) регулярной асимптотически эффективной оценки максимального правдоподобия правило (7.4.37) нахождения может бить преобразовано к эквивалентному виду

где минимум берется по всем возможным значениям нумерующим заданную совокупность дискретных значений. Как видно из (7.4.38), построение оценки сводится к разбиению пространства параметров на ряд непересекающихся областей и определению номера области, в которую попадает оценка найденная без учета ограничений. Если к тому же информационная матрица Фишера не зависит от то это разбиение производится с помощью гиперплоскостей.

Оценка из (7.4.37) по величине среднего квадрата ошибок оценивания может быть существенно лучше регулярной эффективной оценки Особенно резко это различие проявляется, когда расстояние между точками , велики по сравнению со среднеквадратичным рассеянием регулярной оценки т. е. при

Проиллюстрируем это обстоятельство на одномерном примере, когда имеются всего три равноотстоящие точки Максимальная величина среднего квадрата ошибки оценивания получится, если истинное значение параметра При этом

где интеграл вероятности; А -дисперсия эффективной оценки параметра в регулярном случае (при отсутствии ограничений). При

величина среднего квадрата ошибки

и если совокупность данных наблюдения такова, что т. е. дисперсия эффективной оценки убывает обратно пропорционально то величина убывает с ростом экспоненциально и оказывается существенно меньше дисперсии эффективно оценки.