Главная > Статистический синтез при априорной неопределенности и адаптация информационных систем
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

7.4.1. Оценки максимального правдоподобия параметров с ограниченным множеством значений

Важным специальным случаем нерегулярных оценок являются оценки максимального правдоподобия параметров при наличии ограничений на множество допустимых значений. Будем считать, что функция правдоподобия регулярна, так что в отсутствие ограничений мы имеем возможность найти регулярную оценку максимального правдоподобия которая при достаточно большом объеме совокупности наблюдаемых данных х является асимптотически достаточной и асимптотически эффективной оценкой параметра Рассмотрим, к каким особенностям с точки зрения характеристик точности приводит наличие ограничений на множество допустимых значений .

Обозначим это множество через не конкретизируя пока его структуру, и рассмотрим основное уравнение максимального

добия (7.1.2), подчеркнув в нем явно наличие ограничений на допустимое множество значений в:

Если множество имеет ненулевую меру (т. е. в является параметром с некоторой непрерывной областью значений), то решение этого уравнения — оценка максимального правдоподобия — либо совпадает с регулярной оценкой найденной без учета ограничений, либо лежит на границе множества . В первом случае принадлежит во втором во не принадлежит Эти соображения, несмотря на свой совершенно очевидный характер, являются тем не менее средством, которое позволяет сравнительно просто найти оценку в в том практически важном случае, когда найденная без учета ограничений оценка близка к эффективной.

В этом последнем случае функция правдоподобия

где информационная матрица Фишера, и уравнение максимального правдоподобия (7.4.27) эквивалентно уравнению

из которого, как и в общем случае, следует, что

Будем считать, что размер множества не мал по сравнению со среднеквадратичным разбросом регулярной оценки задаваемым матрицей

Для нахождения оценки 0 для случая, когда воспользуемся малостью отклонения которая позволяет заменить в окрестности минимизирующего значения границу множества гиперплоскостью (когда эта граница сама по себе представляет гиперплоскость, что соответствует наиболее распространенному типу ограничений, последующие приближения являются точными).

Пусть в окрестности точки граница множества задается уравнением гиперповерхности

Заменим ее гиперплоскостью

где

и найдем минимум в (7.4.29) с учетом ограничения (7.4.32) на допустимые значения 0 Используя метод Лагранжа, получаем

Это решение при нелинейной функции является, конечно, только первой итерацией, однако его точность достаточно велика. При необходимости можно вычислить следующее приближение, аппроксимировав

гиперповерхность гиперплоскостью вида (7.4.32) с заменой на , т. е. фактически вычислить уточненное значение оценки помощью выражения

где определяется формулой (7.4.34), а

и продолжить итерационный процесс далее.

Из-за ограничения множества допустимых значении оценка максимального правдоподобия получается смещенной. Величина смещения тем больше, чем ближе истинное значение к границе множества и достигает максимальных величин для значений , лежащих на границе этого множества. Однако полный средний квадрат ошибки оценивания не больше, чем при отсутствии ограничений. Для значений и лежащих достаточно далеко от границы, корреляции матрица ошибок оценивания практически совпадает с корреляционной матрицей ошибок при отсутствии ограничений, а для значении , близких к границе множества меньше ее. Для значений , лежащих на границе, величина среднего квадрата ошибки оценивания одной из компонент параметра или линейной комбинации компонент вида где а — вектор, совпадающий по направлению с нормалью к границе множества в точке, соответствующей истинному значению может быть в два раза меньше величины среднего квадрагг ошибки для регулярной эффективной оценки.

В целом оценки максимального правдоподобия при наличии ограничений на допустимое множество значений асимптотически лучше эффективных оценок при отсутствии ограничений, однако для непрерывного множества их «суперэффективность» невелика и проявляется только для значений , близких к границе допустимого множества

Рассмотрим теперь случай, когда множество имеет меру и состоит из отдельных изолированных точек Тогда оценка максимального правдоподобия имеет особенно прочую структуру:

т. е. совпадает с тем дискретным значением , для которого функция правдоподобия максимальна.

Фактически этот случай может быть проинтерпретирован как задача проверки многоальтернативной гипотезы о том, какому из дискретных значений , соответствует совокупность наблюдаемых данных х, по сейчас нам удобнее говорить именно о задаче оценки параметра с ограниченным набором дискретных точек множеством допустимых значений.

В условиях существования (при отсутствии ограничений) регулярной асимптотически эффективной оценки максимального правдоподобия правило (7.4.37) нахождения может бить преобразовано к эквивалентному виду

где минимум берется по всем возможным значениям нумерующим заданную совокупность дискретных значений. Как видно из (7.4.38), построение оценки сводится к разбиению пространства параметров на ряд непересекающихся областей и определению номера области, в которую попадает оценка найденная без учета ограничений. Если к тому же информационная матрица Фишера не зависит от то это разбиение производится с помощью гиперплоскостей.

Оценка из (7.4.37) по величине среднего квадрата ошибок оценивания может быть существенно лучше регулярной эффективной оценки Особенно резко это различие проявляется, когда расстояние между точками , велики по сравнению со среднеквадратичным рассеянием регулярной оценки т. е. при

Проиллюстрируем это обстоятельство на одномерном примере, когда имеются всего три равноотстоящие точки Максимальная величина среднего квадрата ошибки оценивания получится, если истинное значение параметра При этом

где интеграл вероятности; А -дисперсия эффективной оценки параметра в регулярном случае (при отсутствии ограничений). При

величина среднего квадрата ошибки

и если совокупность данных наблюдения такова, что т. е. дисперсия эффективной оценки убывает обратно пропорционально то величина убывает с ростом экспоненциально и оказывается существенно меньше дисперсии эффективно оценки.

1
Оглавление
email@scask.ru