10.5. ПРИМЕРЫ АДАПТИВНЫХ АЛГОРИТМОВ ОЦЕНКИ ПЕРЕМЕННЫХ ПАРАМЕТРОВ

10.5.1. Измерение координат и скорости объекта, движущегося в поле тяготения планеты с неизвестной массой

Для данной задачи вектор имеет три координатных компоненты и три компоненты скорости которые в системе координат, связанной с центром планеты, подчиняются дифференциальным уравнениям

где — квадрат модуля вектора (расстояния от центра планеты), неизвестная постоянная, пропорциональная массе планеты. В данном случае

Будем считать, что наблюдается совокупность величин представляющих собой единичные замеры некоторых величин, связанных с координатами и скоростями объекта. В частном случае вектор может представлять собой шестикомпонентный вектор единичных замеров координат и скоростей в центральной системе координат, это может быть также вектор единичных замеров всех или части координат и скоростей в любой другой системе координат и т. п., важно только, что функция

его распределения зависит от и Будем считать для простоты, что она полностью известна, т. е. логарифм функции правдоподобия не содержит дополнительных параметров. Интегрируя (10.5.1), (10.5.2) от момента до соответствующих двум последовательным замерам получаем следующие рекуррентные соотношения:

где приближенные выражения соответствуют достаточно малым промежуткам времени При необходимости в (10.5.3), (10.5.4) можно сохранить и точные выражения, известные из любого курса небесной механики, либо удержать следующие члены разложения по степеням

Ограничиваясь линейным приближением в (10.5.3), (10.5.4), будем иметь для полного вектора измеряемых параметров

Матрица а матрица имеет вид

где первые два диагональных блока имеют порядок а последний Так как матрица равна нулю, рекуррентное соотношение для матрицы упрощается и принимает вид

где с точностью до членов порядка матрица определяется выражением

Подстановка из (10.5.5) в (10.4.21), а также конкретных значений определяемых видом функции правдоподобия для единичного замера в (10.4.21) и (10.4.22) или (10.5.7) завершает конкретизацию рекуррентных соотношений, определяющих оценки координат объекта и одновременно параметра равного произведению неизвестной массы планеты на гравитационную постоянную.

В соответствии со сказанным в § 10.4 корреляционная матрица ошибок оценивания определяется уравнением (10.5.7) при подстановке в него истинных значений параметров и математического ожидания К» матрицы Из-за нелинейности этого уравнения получить достаточно наглядное его аналитическое решение в общем случае довольно затруднительно. Поэтому приведем характеристики точности оценки в предположении, что интервалы между соседними замерами достаточно малы с точки зрения возможности перехода от рекуррентного соотношения (10.5.7) к соответствующему дифференциальному уравнению типа (10.4.36) или (10.4.38). При этом, полагая будем иметь

либо соответствующее уравнение для матрицы

где матрица К удовлетворяет соотношению

и предполагается далее не зависящей от и времени а матрица определяется выражением

и фактически зависит только от координат объекта Будем считать также, как это чаще всего бывает на практике, что при единичном измерении производится замер только координат объекта, а скорость непосредственно не измеряется. Это означает, что зависит только от и матрица К имеет следующую структуру:

Кроме того, предположим, что длительность интервала времени от до на котором получены замеры координат объекта, не очень велика, так что интервал составляет не более периода

обращения объекта. В этих условиях приближенное решение уравнения (10.5.10) ймеет вид

Выполнив обращение этой матрицы, получим следующее выражение для корреляционной матрицы ошибок определения координат и скоростей объекта:

Эта матрица отличается от корреляционной матрицы ошибок определения координат и скоростей при отсутствии априорной неопределенности (известном значении наличием членов, которые добавляются к матрице в каждом из ее блоков. Величины дополнительных ошибок зависят от значений координат объекта на момент их оценки. Характер зависимости ошибок измерения от длительности интервала измерения не меняется, самиже величины ошибок (особенно по скорости) меняются довольно существенно. В частности, при одинаковых и независимые ошибках единичных замеров различных проекций координат, т. е. при диагональной матрице с одинаковыми элементами, ошибка измерения любой координатной проекции увеличивается из-за незнания величины в 2,25 раза, а проекции скорости в 16 раз. При увеличении интервала измерения относительное увеличение ошибок измерения и V из-за незнания, уменьшается. При этом, конечно, с ростом уменьшаются и абсолютные значения ошибок измерения.

Дисперсия ошибки измерения неизвестного параметра определяется выражением

Она также зависит от. координат объекта и быстро убывает со временем.