15.2. МНОГОШАГОВЫЕ АДАПТИВНЫЕ ПРОЦЕССЫ, МИНИМИЗИРУЮЩИЕ ТЕКУЩИЙ СРЕДНИЙ РИСК ПРИ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ ЗАДАННОЙ АПРИОРНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ И ИЗВЕСТНЫХ ПОТЕРЯХ, СВЯЗАННЫХ С ПРЕДЫДУЩИМИ ШАГАМИ

Допустим, что наблюдаются значения случайных величин каждая из кфторых представляет собой вектор, связанный с шагом наблюдений. Это совокупность физических величин, регистрируемых на шаге (не обязательно временном). В наблюдаемых величинах закодирована информация о некоторых ситуациях имеющих место на тех же шагах наблюдения Величины вообще говоря, тоже векторы, которые могут принимать значения из непрерывного либо дискретного множества. Величины К могут и не изменяться от шага к шагу, однако это частный случай. С точностью до некоторых дополнительных параметров обстановки векторы, которые могут быть как одинаковыми, так и различными) для каждого шага считать известной условную плотность вероятности где

В принципе известны (для дальнейшего это не всегда обязательно) априорные плотности вероятности последняя из которых, вообще говоря, зависит от ситуаций (разным ситуациям соответствовать различные параметры обстановки) и задана только для дальнейшего применения процедуры оптимизации § 6.5 Таким образом, рассмотрим достаточно общий случаи взаимозависимых параметров обстановки и ситуаций, в связи с которыми должны приниматься решения, а также взаимозависимых ситуаций на разных шагах наблюдения.

На основании наблюдений на тех же шагах выносятся решения векторы). В процессе принятия этих решений на лаждом шаге возникают потери, задаваемые функцией потерь

Поставим задачу минимизации среднего значения потерь, связанных с шагом наблюдений, если фиксируются сигналы на всех шагах до включительно, принятые на предыдущих шагах решения и имевшие место потери Из общих результатов гл 2 ясно, что оптимальная стратегия, приводящая к минимизации среднего риска, будет нерандомизированной и сведется к минимизации апостериорного риска Если применить процедуру оптимизации, соответствующую принципу, изложенному в § 6.5 то необходимо найти апостериорный риск

и минимизировать его выбором решения Здесь апостериорная плотность вероятности информативных параметров имеющих место на шаге Она может быть представлена как

где совместная апостериорная плотность вероятности для информативных параметров и параметров обстановки на всех шагах

наблюдения. Мы не отмечаем в (15.2.1) явной зависимости апостериорного риска от фиксированных принятых решений в связи с тем, что при применении нерандомизированных правил принятия решений они являются однозначными функциями сигналов

Далее, для апостериорной плотности вероятности очевидно, имеем

где

- совместная условная плотность вероятности для сигналов и потерь а также использовано то обстоятельство, что потери однозначно определяются решениями и параметрами в связи с чем условная плотность вероятности для вектора потерь находится как

Здесь Подставляя (15.2.2), (15.2.3) в (15.2.1), имеем

а оптимальное правило принятия решения на шаге наблюдений получается минимизацией (15.2.6) выбором

Для того чтобы получить, как и в предыдущих главах, универсальное приближение к оптимальному правилу, не требующее детальных знаний закона распределения для параметров обстановки применим приближенное выражение

где согласно

число компонент вектора в ситуациях матрица состоит из элементов

компоненты вектора его оценка максимального правдоподобия, удовлетворяющая условию

Для большинства видов функций потерь уравнения

имеют конечное число корней. Поэтому при заданных существует конечное дискретное множество соответствующих им значений Иногда однозначно определяются функциями

и только лишь в редких случаях, в которых целой области значений соответствуют одни и те же потери, задание приводит к непрерывным множествам

Ограничиваясь только такими функциями потерь, для которых система уравнений (15.2.12) имеет конечное число корней, обозначая эти корни и подставляя (15.2.7) в (15.2.6), имеем следующее условие для выбора оптимального решения:

Условие (15.2.13) упрощается при однозначной зависимости

где конкретные ситуации, имевшие место на предыдущих шагах, восстановленные по известным потерям

При применении процедуры нахождения оптимальных решений, изложенной в § 6.2, легко заметить, что правила (15.2.13), (15.2.14) остаются в силе, если положить

Таким образом, задача минимизации текущего среднего риска при заданных прошлых потерях свелась к стандартной форме, уже привычной читателю. Это особенно ясно видно в случае однозначного восстановления ситуаций