13.3. ЭФФЕКТИВНОСТЬ РАСПОЗНАВАНИЯ КВАЗИДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ

13.3.1. Основные соотношения

Эффективность распознавания так же, как и эффективность проверки любых гипотез, может быть охарактеризована условными вероятностями правильных решений и соответствующих ошибок. В двухальтернативных задачах эта система вероятностей состоит из четырех вероятностей, две из которых выражаются через две другие, так что достаточно интересоваться, например, только условными вероятностями правильных решений. Для их нахождения удобно полученный алгоритм распознавания квазидетерминированных сигналов, принимаемых в шумах, представить в следующем виде. Решение о наличии сигнала при наблюдениях в дискретные моменты времени принимается, если

где

В случае соблюдения противоположного неравенства принимается решение о наличии сигнала

При непрерывном наблюдении величина находится как

Если раскрыть (13.3.2), то в него входят интегралы видов

и где белый шум, заданная функция времени» Нетрудно убедиться, что до предельного перехода, приводящего к рассмотрению непрерывных реализаций, выражение, в пределе переходящее в сокращается и, следовательно, этот интеграл не требует пояснений. Интегралы вида следует понимать в смысле как где винеровский процесс.

Для вычисления вышеуказанных вероятностных характеристик надо обратиться к закону распределения вероятностей величины z. Эта величина включает в себя случайные функции векторных параметров Нахождение точного распределения для минимума случайных функций (тем более одновременно двух зависимых) возможно в принципе только в некоторых частных случаях, например, когда эти функции квадратично зависят от Поэтому мы воспользуемся приближенным методом, широко распространенным в теории оценок постоянных параметров.

Будем считать, что

дважды дифференцируемы по соответственно, и выберем некоторые точки близкие к ожидаемым значениям, обеспечивающим Пусть для определенности имеет место первая ситуация,

т. е. где истинное значение неизвестных параметров а. Тогда в качестве таких точек целесообразно взять где обеспечивает при отсутствии помехи, т. е. определяется из соотношения

и зависит, вообще говоря, от значения Нетрудно убедиться, что именно около этих значений группируются распределения вероятности для оценок максимального правдоподобия параметров обеспечивающих а при увеличении отношения сигнал/шум искомые минимизирующие значения стремятся соответственно к

Разлагая в ряды по степеням и ограничиваясь членами первого порядка, что при подстановке в (13.3.3)

обеспечивает, как нетрудно показать, сохранение членов не выше второго порядка, получаем

Здесь - операторы градиентов по параметрам знак означает транспонирование.

Подставляя (13.3.5) в (13.3.3), имеем

Уравнение для нахождения значения а, минимизирующего имеет вид

откуда

Вводя матрицу порядка

и вектор-столбец порядка

получаем

Если учесть, что

то

Аналогично

где

— матрица порядка

— вектор-столбец порядка

Последнее равенство выполняется благодаря тому, что удовлетворяет уравнению (13.3.4).

Таким образом, при выполнении первой гипотезы величина z из (13.3.1) определяется выражением

и представляет собой квадратичную функцию величин

Если в действительности имеет место вторая гипотеза, т. е. истинное значение параметра то величина z определяется таким же выражением, в котором всюду следует заменить на на где определяется из уравнения

Отметим, что выражение (13.3.15) для величины z является точным, если функции линейно зависят от т. е.

где произвольные величины, среди которых могут быть и совпадающие. При нелинейной зависимости от параметров выражение (13.3.15) тем точнее, чем больше отношение сигнал/шум для каждого из сигналов Практически приближение удовлетворительно, если отношение энергии сигнала к спектральной плотности шума превышает несколько единиц.

Непосредственной подстановкой нетрудно убедиться, что величина z приводится к виду

где

а остальные величины введены выше.

При выполнении первой гипотезы величины имеют нулевые математические ожидания и корреляционную матрицу с элементами

Вводя векторы-столбцы порядка а также матрицу порядка

можно переписать (13.3.18) в виде

причем вектор у имеет математическое ожидание и корреляционную матрицу