12.2. ОБНАРУЖЕНИЕ СИГНАЛА С НЕИЗВЕСТНОЙ АМПЛИТУДОЙ В НЕКОРРЕЛИРОВАННОМ ШУМЕ

Пусть требуется обнаружить наличие сигнала где заданная функция времени, а -неизвестная амплитуда, при приеме в гауссовом шуме который при дискретном наблюдении будем считать не коррелированным с дисперсией а при переходе к непрерывному наблюдению — белым со спектральной плотностью

Априорные вероятности наличия и отсутствия сигнала обозначим соответственно. Амплитуда а распределена в широком диапазоне в котором по-прежнему ее можно считать распределенной равномерно.

Рассмотрим сначала классическую процедуру анализа, при которой наблюдение производится на интервале либо при дискретном наблюдении длина выборки задана.

Принимаемый сигнал можно записать в виде реализации

или в виде выборки

где с вероятностью с вероятностью

Согласно (12.1.1) оптимальный обнаружитель должен образовать угнетение правдоподобия

где, учитывая, что функция корреляции шума

Оценка максимального правдоподобия амплитуды а удовлетворяет уравнению

и имеет вид

где принята нормировка

Отношение правдоподобия принимает вид

где оценка максимального правдоподобия отношения сигнал/шум, определяемая согласно (12.2.6) по формуле

При переходе к непрерывному наблюдению функционал отношения правдоподобия выражается по-прежнему формулой где

и произведен переход к пределу при

Рис. 12.1. Функциональная схема оптимального обнаружителя сигнала с неизвестной амплитудой в шуме: 1 — генератор сигнала интегратор; 3 — квадратор; 4 — реле

Таким образом, оценка отношения сигнал/шум, определяющая в данном случае алгоритм обнаружения, представляет собой соответствующим образом нормированный результат квадратичного детектирования выхода корреляционного приемника. Функциональная схема оптимального обнаружителя представлена на рис. 12.1.

Согласно теории, развитой в гл. 11, оптимальный обнаружитель должен сравнивать полученное отношение правдоподобия с порогом где соответствующие коэффициенты потерь;

ибо согласно (11.2.6)

Отсюда порог

Если

где — априорный диапазон изменения отношения сигнал/шум. Последнее выражение остается в силе и при непрерывном наблюдении, при котором отношение везде заменяется на

Функция оптимального адаптивного обнаружителя должна состоять в составлении оценки отношения оигнал/шум и сравнении ее с порогом При превышении порога принимается решение о наличии сигнала.

При достаточно больших величинах априорной вероятности отсутствия сигнала и диапазона изменения отношения сигнал/шум порог получается положительным и полученный алгоритм дополнительных пояснений не требует.

Однако могут быть соотношения параметров, при которых Тогда должно приниматься решение о наличии сигнала независимо от результатов наблюдения. Это значит, что соблюдаются условия, при которых даже наилучшая обработка сигнала при наблюдениях не может улучшить априорных данных.

Рассчитаем характеристики обнаружения для синтезированного алгоритма. Обозначая

имеем

Величина распределена по нормальному закону с математическим ожиданием

и с дисперсией

Отсюда, обозначая через плотность вероятности величины имеем для плотности вероятности величины выражение

и соответственно при

и при

где истинное отношение сигнал/шум.

Плотности вероятности (12.2.17), (12.2.18) относятся и к случаю непрерывного наблюдения, если под понимать величину (12.2.9), а под величину

Вероятность ложной тревоги теперь вычисляется как

где интеграл вероятности.

Вероятность правильного обнаружения

Исключая С для разных отношений сигнал/шум строим характеристики обнаружения изображенные на рис. 12.2.

Представляет интерес сравнение полученных характеристик обнаружения с соответствующими характеристиками для обнаружения при известной амплитуде сигнала (известном отношении сигнал/шум). Такой оптималыный обнаружитель, как известно, действует в соответствии с алгоритмом, при котором принимается решение о наличии сигнала, если

или при непрерывном наблюдении

Ему соответствуют характеристики обнаружения

Рис. 12.2. Характеристики обнаружения сигнала с неизвестной амплитудой в шуме: случай известной амплитуды сигнала,

Соответствующая кривая при также изображена на рис. 12.2. Этот рисунок дает возможность судить о проигрыше, получающемся за счет неизвестности амплитуды обнаруживаемого сигнала.

Получанные соотношения позволяют без каких-либо дополнительных построений записать также алгоритм последовательного анализа, обсуждавшийся в § 11.3. В связи с тем, что оценка отношения сигнал/шум полученная на шаге наблюдений и определяемая выражением (12.2.8), представляет собой логарифм отношения правдоподобия на этом шаге, оптимальный алгоритм последовательного анализа сводится к следующему. На каждом шаге сравнивается с двумя порогами Если принимается решение об отсутствии сигнала, если - решение о его наличии, если же - наблюдения продолжаются на шаге.

Если, например, потери на шаге определяются выражениями (11.3.14) — (11.3.16), то пороги после подстановки величин находятся как

где — выигрыши от правильных решений; потери от ошибочных решений, если эти решения принимаются на шаге. В данном случае пороги не зависят от выборки и полностью определяются априорными данными.

Для нахождения рекуррентного адаптивного алгоритма обнаружения необходимо, согласно (11.4.16), составить рекуррентное соотношение

В данном случае так что (12.2.25) принимает вид

где

и - плотности вероятности для при наличии и при отсутствии сигнала соответственно. Согласно (12.2.4)

так что

и рекуррентное соотношение (12.2.25) принимает вид

где использована найденная выше связь между

Порог, с которым сравнивается согласно (12.2.12) зависит от только в случае переменных коэффициентов и определяется как

В данном частном случае логарифм отношения правдоподобия совпадает с оценкой неизвестного параметра обстановки (отношения сигнал/шум). Поэтому одно рекуррентное соотношение (12.2.27) полностью определяет алгоритм обнаружения.

Найденные правила принятия решений в рассмотренной задаче оптимальны не только как байесовы адаптивные правила, но они также являются минимаксными, обсуждавшимися в гл. 5.