2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ С ПОМОЩЬЮ РЕЗОНАНСНЫХ ИСПЫТАНИЙ

Гармоническое возбуждение. Применение гармонического возбуждения (для определения частот и форм собственных колебаний), которое является частным видом периодического возбуждения, имеет ряд преимуществ. Исследуемая механическая система отзывается на такое возбуждение, как набор осцилляторов, особенно в случаях, когда соответствующие декременты малы, т. е. для тех собственных тонов, которые являются наиболее важными, например могут быть наиболее опасны по соображениям прочности.

Результаты анализа реакции конструкций на гармоническое возбуждение в наименьшей степени подвержены влиянию погрешностей, так как не требуется дополнительной обработки и можно использовать эффективную фильтрацию средствами синхронного детектирования или иными, однако при этом увеличивается длительность измерений. В этом случае наиболее наглядны резонансные явления (одни из важнейших в технических приложениях), а непосредственно используемый математический аппарат (частотные методы анализа) хорошо развит и является достаточно простым.

Система с одной степенью свободы. При экспериментальных исследованиях колебаний реальных конструкций в ряде случаев оказывается, что их основные

характеристики близки к характеристикам простейшей системы с одной степенью свободы. Свободные колебания такой системы описываются уравнением (7)

Простота анализа колебаний в системе с вязким трением и возможность во многих случаях свести реальное демпфирование к эквивалентному вязкому обусловили широкое практическое использование этого допущения.

Рис. 1. Зависимость от числа периодов

Рис. 2. Погрешность определения логарифмического декремента по величине

Затухающие колебания, вызванные начальным отклонением имеют вид откуда определяются обе характерные величины: не 11 логарифмический декремент Для проверки близости характера затухания вязкому иногда определяется зависимость от числа периодов (рис. 1). Значение логарифмического декремента получается в соответствии с определением либо что справедливо для малых декрементов (рис, 2),

Рассматривая вынужденные колебания системы с вязким трением:

отметим неоднозначность понятия «резонанса» в такой системе. Если резонансным называть значение при котором амплитуда колеблющейся механической величины достигает максимума, то небезразлично, какую величину измеряют при эксперименте — перемещение, скорость или ускорение (т. е. используются ли датчики перемещения, скорости или ускорения), так как соответствующие резонансные частоты отличаются друг от друга (рис. 3). При уменьшении затухания эти величины практически одинаковы.

Собственной частоте системы соответствует максимальная амплитуда, измеряемая датчиком скорости (скорость при этом имеет нулевой фазовый сдвиг

отнсосительно вынуждающей силы), а фазовый сдвиг перемещения (и ускорения) по отношению к вынуждающей силе составляет 90°. Частоту, при которой скорости колебаний), часто называют частотой фазового резонанса, а значение, соответствующее максимуму перемещений (меньше частоты свободных колебаний системы с затуханием), — частотой амплитудного резонанса. Далее везде резонансной частотой называется частота фазового резонанса.

Рис. 3. Резонансные кривые, измеренные датчиками перемещения и ускорения

Практически одним из наиболее простых и точных способов определения собственной частоты является определение ее по нулевому фазовому сдвигу сигналов силы и скорости, например, спомощью электронного осциллографа (рис. 4). По изображению фигуры Лиссажу на экране осциллографа, когда необходимо отметить лишь отклонение изображения от прямой линии, оператор может определить резонанс с погрешностью по фазе порядка , что ведет к относительной ошибке определения частоты (в процентах) порядка при логарифмическом декременте

Рис. 4. Схема определения частоты фазового резонанса: 1 — синусоидальный генератор; 2 - ЭДВ

Способом, позволяющим отчасти устранить влияние нелинейности системы (например, влияние высших гармонических составляющих), является измерение мнимой и действительной частей кинематических величин, т. е. синфазной (в фазе с возбуждающей силой) составляющей этих величин и квадратурной — сдвинутой на четверть периода по фазе относительно силы, см. (9), (10).

Для квадратурной составляющей перемещения из соотношений (10) и (11) получим

откуда видно, что максимальное значение совпадает с максимальным значением модуля перемещения но резонансная кривая становится более узкой (рис, 5).

Аналогично для синфазной составляющей перемещения можно получить

откуда следует, что частота определяется по нулевому значению синфазной составляющей перемещения (рис. 5). Экстремумы кривой соответствуют частотам или

Амплитудно-фазовые характеристики величин соответствующие компонентам (12), (13) при постоянной амплитуде силы возбуждения (частотные годографы системы), представляют собой, для малых 6, почти правильные окружности (рис. 6), при этом угловая скорость вектора годографа максимальна в окрестности собственной частоты [22].

Рис. 5. Резонансные кривые синфазных и квадратурных составляющих

Рис. 6. Амплитудно-фазовые характеристики (частотные годографы) скорости и перемещения

При известной зависимости от частоты декремент колебаний определяется по ширине резонансной кривой либо по величине максимальному значению

Если неизвестно, то декремент определяют по значениям двух частот: соответствующих одинаковым величинам Для в случае вязкого демпфирования и при получается широко используемое соотношение

Это же соотношение справедливо для резонансных зависимостей синфазной и квадратурной составляющих, где в качестве характерных частот следует взять значения, соответствующие либо экстремумам кривой либо на уровне (практически) или При использовании частотного годографа соотношением (15) можно пользоваться, принимая за частоты точек пересечения линии диаметра, перпендикулярного вектору резонансных колебаний, с окружностью частотного годографа (рис. 7).

Для измерений, в которых при изменении частоты амплитуда перемещения поддерживается постоянной путем изменения амплитуды силы, соотношение (15) также

остается справедливым, если значения определяются условием

С помощью частотного годографа значение может быть найдено в ряде случаев более достоверно по величинам двух частот, и угла между соответствующими векторами (рис. 7):

Степени детализации сложных систем. В определении характеристик собственных колебаний сложных систем со многими степенями свободы путем резонансных испытаний степени детализации могут существенно отличаться.

Практически всегда необходима оценка значений собственных частот, и это может быть либо начальной стадией испытаний, либо в простых случаях содержит ответ на практический вопрос. Затем определяют форму колебаний на той или инои собственной частоте, т. е. находят соотношение амплитуд При этом форма может быть названа по определенному признаку (например, названию элемента конструкции, имеющего наибольшую амплитуду при колебаниях по данной форме).

Рис. 7. График определения логарифмического декремента с помощью частотного годографа

Рис. 8. Амплитудно-частотные характеристики при поддерживании постоянства показаний датчика перемещений

Во многих случаях этой информации о формах и частотах собственных колебаний достаточно для решения практической задачи. Однако полная информация о системе, необходимая и достаточная для расчета ее колебаний, содержит также значения других обобщенных параметров — декрементов и обобщенных масс (или жесткостей) для каждого собственного тона. Как правило, экспериментальное определение этих величин требует предварительного нахождения собственных частот и форм, а также резонансных зависимостей (амплнтудно- и фазочастотных характеристик).

Практически полный объем испытаний включает определение спектра собственных частот (в выбранном диапазоне, поскольку реальная распределенная конструкция имеет бесконечный набор собственных частот), форм колебаний (иногда не для всех найденных частот), а также измерения, необходимые для определения декрементов и обобщенных масс наиболее важных в данной задаче собственных тонов. Дополнительным этапом является проверка соответствия конструкции допущению о линейности ее модели- определение зависимости собственных частот от амплитуды перемещений, или амплитуды перемещений от силы возбуждения. Для этой же цели определяют обобщенные параметры системы (для данного тона) различными способами, которые в идеальном случае должны дать идентичные результаты.

Резонансные испытания с многоточечным возбуждением. Путем надлежащего выбора сил возбуждения при таких испытаниях выделяют поочередно отдельные собственные тона и регистрируют соответствующие формы, частоты и величины, по которым определяют обобщенные массы (или жесткости) и коэффициенты

демпфирования. Возбуждение осуществляется гармоническими силами с относительными фазовыми сдвигами или 180° и различными амплитудами.

Специфической особенностью испытаний с многоточечным возбуждением является необходимость управления многими силами с целью отыскания вектора с такими действительными компонентами, чтобы вынужденные колебания представлялись одним собственным вектором [5, 15, 20, 21]. При полной компенсации сил демпфирования силами возбуждения на собственной частоте консервативной системы справедливы соотношения

т. е. скорости всех точек конструкции и силы синусоидального возбуждения оказываются в фазе (или противофазе) между собой, и скорости имеют отличную от нуля лишь синфазную составляющую. При возбуждении собственных колебаний одного тона (если диагональная) можно записать

Где амплитудные значения синфазной и квадратурной составляющих; все коэффициенты — скалярные величины.

Чтобы уменьшить влияние нелинейности характеристик испытываемой конструкции на результаты, измерения проводят при фиксированном уровне — одном или нескольких. Уровень колебаний определяется некоторой усредненной по конструкции величиной — суммарным сигналом:

суммой скоростей характерных точек, знаки которых совпадают со знаками синфазной составляющей скорости (эта величина определяется заново для каждой формы). Могут быть использованы и сигналы перемещений или ускорений, в этом случае их знаки определяются знаками соответствующих квадратурных составляющих, например Сигнал легко реализовать в ходе эксперимента.

При таком методе испытаний требуется сложное оборудование, однако получают точные экспериментальные данные в виде коэффициентов уравнений (6) и (7). При этом обеспечивается возможность оперативной обработки результатов с помощью простейшего анализа, что существенно при испытаниях в сжатые сроки, когда необходима полная уверенность в надежности получаемых результатов на каждом этапе эксперимента.

Подбор сил возбуждения. Из соотношений (17) следует, что специальный подбор сил возбуждения и их частоты позволяет исследовать колебания сложной конструкции как колебания одностепенной системы (отдельно для каждого собственного тона). Например, частота собственных колебаний системы без демпфирования определяется по нулевому фазовому сдвигу между силой и скоростью. Если скорость измерять по двум составляющим то совпадение частоты возбуждения с собственной определяется обращением в нуль квадратурной составляющей скорости — условием (либо ).

Поскольку признаком выделения тона является отсутствие фазовых сдвигов в отдельных точках конструкции (отличных от нуля или 180°) при нулевом сдвиге фазы скорости относительно возбуждения, подбор сил может осуществляться с помощью итерационной процедуры при наблюдении колебаний характерных точек по экрану электронного индикатора [2, 24]. Когда изображение имеет вид фигур Лиссажу, подбор сил должен обеспечить получение этих фигур в виде прямых, если характерный размер изображения пропорционален величинам то эти составляющие обращаются в нуль и т. п. Для ускорения процесса выделения колебаний

одного (искомого) тона можно использовать единую минимизируемую величину, когда, например, целью подбора сил является

Более эффективно процесс выделения искомого тона осуществляется в том случае, когда автоматически поддерживаются условия фазового резонанса при постоянном уровне колебаний, т. е. выполняются соотношения

Одной из перспектив в этом направлении является использование методов минимизации (или иных) для подбора сил с помощью управляющей ЭВМ.

Для оценки степени выделения тона удобно использовать единый численный критерий, характеризующий фазовые сдвиги колебаний отдельных точек (по отношению друг к другу). Таким критерием служит величина усредненного фазового сдвига, которая получается суммированием с весовыми коэффициентами пропорциональными При они принимают вид так что усредненный фазовый сдвиг, не зависит от уровня колебаний: Значение легко подсчитать в процессе испытаний после регистрации

Выделение собственного тона обеспечивается при установке силовозбудителей в точках с большими амплитудами колебаний по форме исследуемого тона (а также ближайших по частоте), поэтому при наличии плоскости симметрии конструкции их рекомендуется устанавливать симметрично. В то же время при отсутствии близких тонов и наличии относительно малых декрементов колебаний (что может реализоваться для первых упругих тонов) подбор сил иногда может сводиться к определению одной-двух отличных от нуля сил.

Если хорошо выделенный собственный тон не имеет связи с другими тонами через демпфирование, то его характеристики полностью совпадают с характеристиками одностепенной системы. Это можно наблюдать, в частности, по характеру годографа частотной характеристики (окружность для линейной системы), по отдельным резонансным кривым, а также по виду затухающих колебаний после мгновенного выключения всех сил возбуждения. В этом случае по осциллограммам затухающих колебаний можно также определить величины

Измерение собственных частот и форм. Отношение двух обобщенных характеристик (массы и жесткости) определяют по собственной частоте консервативной системы. При испытаниях с многоточечным возбуждением эту частоту измеряют при нулевом фазовом сдвиге между сигналами скорости и возбуждения (а также при обращениях в нуль сигнала с большой точностью (5—6 значащих цифр). Это необходимо для определения обобщенных масс, когда требуется измерить малые приращения частоты и большая погрешность недопустима, однако практически допустимые погрешности определения частоты собственных колебаний на 2—3 порядка выше, поэтому допустим отсчет и непосредственно по шкале генератора.

Измерение форм собственных колебаний (консервативной системы) практически осуществляют измерением распределения или для первой гармоники колебаний на резонансной частоте, хотя в более простых случаях, когда не требуется большой точности, можно измерять и распределение значений модуля сигнала или При фазовом сдвиге разница составляет при Анализ по первой гармонике позволяет устранить влияние искажений формы сигнала, вызванных нелинейностью или иными причинами, на результаты измерений посредством выделения составляющих для основной частоты колебаний и осуществляется способом синхронного детектирования.

Многоканальное оборудование позволяет определять значения синфазной и квадратурной составляющих сигналов 10—20 датчиков одновременно с целью последующей регистрации большого числа сигналов такими группами. В то же время, если число точек измерения формы не велико (в пределах 10—20) и все они

сравнительно легко доступны, то измерения можно проводить с поочередным «обходом» этих точек посредством одного переносного датчика, сигналы которого подаются на вход одноканального блока синхронного детектирования. Найденные таким образом сигналы непосредственно являются коэффициентами распределения амплитуд исследуемой формы колебаний. 1

Способы измерения обобщенных масс. Обобщенные массы определяют различными способами, дополняющими друг друга и позволяющими путем независимых измерении контролировать получаемые значения [5, 15, 20]. Наиболее точным по-видимому, является способ механической догрузки конструкций, которым определяется изменение собственной частоты (или периода вызванное установкой дополнительных сосредоточенных масс Из уравнения (4) можно получить, что при малых приращениях

На практике для уменьшения влияния случайных ошибок измерения проводят при нескольких вариантах догрузки. Затем методом наименьших квадратов определяют значения обобщенных масс из следующего соотношения:

где и приращение обобщенной массы и периода собственных колебаний для варианта догрузки массами перемещение точки нормирования, можно заменить при поскольку

Для определения влияния нелинейности на величину измерения можно повторить при различных уровнях колебаний. Недостатком способа является необходимость установки грузов, что не всегда возможно практически и требует дополнительного времени.

Более оперативным является определение обобщенных масс, связанное с добавлением квадратурных составляющих сил возбуждения. При этом фактически изменяют общий фазовый сдвиг всех сил возбуждения по отношению к фазе сигнала генератора, по которому отмечается фазовый резонанс. Если отношение модуля квадратурной составляющей силы возбуждения к исходной (синфазной) обозначить то в уравнении (9) следует заменить на При исходной резонансной частоте сигнал скорости также изменит фазовый сдвиг на Изменением частоты добиваются такого значения фазового сдвига сигнала скорости, при котором этот сигнал совпадает по фазе с начальной — синфазной составляющей возбуждения, т. е. наблюдают фазовый резонанс скорости с сигналом генератора. При этом квадратурная составляющая сил возбуждения (сигнал ±90° генератора) по величине и фазовому сдвигу эквивалентна силам инерции некоторой дополнительной массы аэкв (для одной силы а уравнение (17) можно представить в следующем виде:

При с учетом

Измерения проводят при положительном и отрицательном значениях измеряют значения соответству тощие резонансу при и значения соответствующие Отсюда определяется одна общая величина Как и при механической догрузке, а; измеряется для нескольких вариантов значений которые служат для определения обобщенной массы по МНК подстановкой в (21) следующего выражения вместо

Как при механической догрузке, так и при добавлении квадратурных составляющих сил возбуждения, проводят контрольные измерения собственных форм, поскольку неизменность формы — исходное допущение при выводе соотношений (19) — (22) и лннеиного характера зависимости от А а или (рис. 9),

Рис. 9. Графики контроля достоверности определения обобщенных пасс различными способами: а — механической догрузки; добавления квадратурных составляющих сил возбуждения; в — энергетическим

Энергетический способ (называемый также способом комплексной мощности [20]) определения основан на измерении частотного годографа в малой окрестности частоты для всех точек возбуждения. После регистрации Для координат точек возбуждения при пяти — семи значениях (или (от), отличающихся на

где угол наклона прямой, характеризующей зависимость от (см. рис, 9) либо определяется с помощью МНК из соотношений;

Зависимости (24) равномерны при относительно больших декрементах, когда В противном случае необходима аппроксимация экспериментальных данных по МНК полиномом третьей степени, что дает более сложное соотношение для При например при

равноотстоящих частотах или симметричных относительно средней

Измерение логарифмических декрементов колебаний. Декремент колебаний определяют различными способами. Требования к точности результата здесь в несколько раз ниже, чем при определении Большей частью приведенные выше способы измерения декремента одностепенной системы по ширине резонансных кривых (или по частотному годографу) пригодны и в случае системы со многими степенями свободы. Логарифмический декремент определяется попутно соотношениями (22) в процессе измерения при добавлении квадратурной составляющей сил возбуждения. На практике проверяют, изменяется ли декремент 6° с изменением перемещения Зависимость может быть найдена при измерениях на разных уровнях или по переходному процессу, вызванному мгновенным выключением гармонического возбуждения выделенного тона. При отсутствии биений декремент определяют как указано выше для системы с одной степенью свободы, с усреднением за несколько (пять — десять) колебаний. Биений не будет при отсутствии связи исследуемого тона с другими через силы демпфирования. Как правило, это относится к двум — трем низшим по частоте формам.

Последовательность измерений. Эксперимент с многоточечным возбуждением проводят в несколько этапов Сначала приближенно определяют собственные частоты и формы по всем основным тонам. Затем выделяют искомый тон подбором сил возбуждения и измеряют его характеристики (частоты, формы, обобщенные массы и декременты). Операции выделения тона и измерения его характеристик повторяют поочередно для каждого из тонов в заданном диапазоне частот. Такова последовательность измерений в случае линейной исследуемой системы. Характеристики нелинейной системы при ее исследовании частотными методами (когда это возможно, т. е. если система линеаризуема) определяют посредством выделения сигналов основной гармонической составляющей, в частности методами синхронного детектирования. Для этой составляющей справедливы приведенные выше соотношения, которыми описываются колебания линейной системы. Однако в этом случае необходимо повторять измерения при различных уровнях колебаний [20], т. е. получать семейство характеристик, в частности амплитудно- и фазочастотных. Предпочтительнее исследовать такие системы методами, при измерениях которыми уровень сигналов кинема шческих величин поддерживается постоянным либо изменяется незначительно.