4. ОРГАНИЗАЦИЯ И ПЛАНИРОВАНИЕ ВИБРАЦИОННЫХ ИСПЫТАНИЙ ДЛЯ МЕХАНИЗМА ВЛИЯНИЯ ТИПА А

Общие положения. Под задачей планирования вибрационных испытаний объекта будем понимать выбор такой совокупности и последовательности режимов вибрационных испытаний (под режимом испытаний будем понимать любую, воспроизводимую в лабораторных условиях точку пространства вибрационных состояний), чтобы по результатам наблюдений определяющего параметра на каждом режиме испытаний можно было получить информацию о функции достаточную для определения вероятности функционального отказа за время эксплуатации

При этом объем проводимых испытаний (число и продолжительность режимов испытаний) должен быть минимальным при заданных требованиях к достоверности оценки

Изменению вибрационного состояния объекта при эксплуатации соответствует реализация траектории Так как в рассматриваемом случае определяющий параметр зависит от компонент вибрационного состояния то траектории соответствует траектория

Для удовлетворительного функционирования объекта необходимо, чтобы за время ни разу не нарушилось условие т. е. траектория не должна иметь выбросов за пределы области А. Но траектория определяется траекторией Следовательно, виброустойчивость исследуемого объекта характеризуется вероятностью того, что в множестве эксплуатационных вибрационных состояний С траектория не выйдет за пределы такого подмножества для которого соблюдается условие

Таким образом, множество С может быть разбито на таких два подмножества в и что

Для любого а для любого т. е. появление хотя бы одного состояния из О приводит к функциональному отказу.

Так как статистика эксплуатационных вибрационных состояний на множестве С должна быть задана, вероятность нормального функционирования исследуемого объекта, равная вероятности невыброса траектории за пределы и может быть всегда вычислена, если известно разбиение множества С на подмножества .

При этом возможны две ситуации.

1. Организация и планирование виброиспытаний в случае, когда функция известна. Эта ситуация может возникнуть, например, когда объект достаточно прост, а теория механизма влияния вибрации для него хорошо разработана и дает надежные результаты. В этом случае вообще нет необходимости проводить вибрационные испытания объекта, так как разбиение множества С на подмножества может быть осуществлено расчетным путем.

2. Организация и планирование виброиспытаний, когда функция неизвестна или известна только структура функции для исследуемого объекта. В этом случае план испытаний должен быть построен таким образом, чтобы в результате его реализации можно было бы получить все необходимые сведения о функции и использовать эти сведения для оценки способности объекта нормально функционировать в условиях эксплуатационных вибраций. При этом рациональный (оптимальный) план испытаний удается получить, если последовательно проверить ряд гипотез о свойствах объекта, каждая из которых постепенно усложняется, но таким образом, что вероятность существования сложных гипотез оказывается

небольшой. В большинстве практических случаев такой подход позволяет прекратить испытания после проверки объекта на достаточно малом числе режимов.

Пусть для исследуемого объекта множество эксплуатационных вибрационных состояний С и вероятностная мера на нем известны. Известно, что множество С может быть разделено на подмножества . Поверхность, разделяющую пространство на подмножества (рис. 14), назовем разделяющей поверхностью

Взаимное расположение области С и разделяющей поверхности может быть различным и в конечном итоге сводиться к одной из следующих трех возможных комбинаций: 1) множество пустое (рис. 15, а); 2) не являются пустыми ни , ни (рис. 15, б); 3) пусто множество . Последняя комбинация встречается редко, так как любая эксплуатационная вибрация в конечном итоге может вызвать отказ.

Испытания следует начинать с проверки гипотезы, состоящей в том, что для исследуемого объекта подмножество О пусто. Если это предположение верно, то никакое эксплуатационное состояние не может вывести определяющий параметр за поле допуска, в том числе и самое тяжелое вибрационное состояние

Если было бы известно, какое состояние является тяжелейшим, т. е. были бы известны координаты соответствующей точки параметрического пространства, то достаточно провести испытания на этом единственном режиме. При этом были бы возможны два результата: или .. Первый означал бы принятие гипотезы о том, что и соответственно возможность утверждать, что никакая эксплуатационная вибрация не вызовет в объекте функционального отказа; второй — невозможность принятия гипотезы о том, что следовательно, необходимость проведения дальнейших испытаний для построения разделяющей поверхности.

Рис. 14. График разбиения множества С на подмножества и и О

Рис. 15. Схемы взаимного расположения области С и разделяющей поверхности

Однако тяжелейший режим заранее, как правило, неизвестен. Поэтому прежде чем провести соответствующие испытания, необходимо среди всех отыскать тяжелейший режим

В тех случаях, когда определяющий параметр скаляр и задано некоторое число, являющееся допустимой верхней или нижней границей для определяющего параметра, обычно не возникает никаких проблем с определением вибросостояния, которое является более тяжелым. Так, если А — допуск и условие означает удовлетворительное функционирование объекта, то при состояние более тяжелое, чем

В этом случае тяжелейший режим очевиден:

Сложнее обстоит дело в тех случаях, когда многомерный вектор, произвольная область в пространстве определяющего параметра.

Строго говоря, если никаких априорных сведений не имеется, то необходимо признать, что количественная оценка любых двух значений вектора X не так важна, как установление принадлежности к области А. При таком подходе и в случае, когда два значения порождены различными вибрационными состояниями, невозможно точно определить, какое состояние является более тяжелым. Однако на практике такой подход оказывается неудобным, поскольку почти всегда необходимо установить степень близости вектора X к границе области А. При этом можно утверждать, что по мере увеличения этой близости тяжесть породивших это значение X вибрационных состояний возрастает.

Следовательно, почти во всех случаях желательно искусственно ввести понятие «степени тяжести» вибрационного состояния, которое в конечном итоге позволит выделять в множестве эксплуатационных состояний равнотяжелые режимы.

Мерой тяжести режима может служить кратчайшее расстояние в пространстве определяющего параметра от любой произвольной точки до границы области А. В этом случае все точки, обладающие одинаковым кратчайшим расстоянием до границы области порождены равнотяжелыми вибрационными состояниями (рис. 16),

Рис. 16. Схема определения меры тяжести испытательного режима

Рис. 17. К определению направления крутого восхождения

Используя подобную меру для измерения степени близости к границе допуска, фактически вводим некоторую функцию которая сводит любое значение вектора к некоторому скаляру. Несмотря на то, что эта операция является искусственной, она не противоречит физическому смыслу поставленной задачи. При этом существенно упрощается решение всех вопросов, связанных с необходимостью ранжирования вибросостояний и соответственно с определением тяжелейшего режима.

Таким образом, для скалярного определяющего параметра испытаниям на тяжелейшем режиме должна предшествовать процедура его поиска, которая представляет собой один из возможных алгоритмов поиска экстремума функции многих переменных.

Поскольку вид функции как правило, неизвестен, в большинстве практических случаев наиболее приемлемой может быть следующая процедура организации испытаний.

1. Выбираем некоторую произвольную точку в параметрическом пространстве. Проводим испытания на режиме и определяем отклик исследуемого объекта на данное воздействие При этом возможны следующие ситуации:

2. Принимая режим за основной уровень и выбирая соответствующие интервалы варьирования в окрестностях точки организуем полный факторный эксперимент или дробную реплику от него [3, 4], целью которого является аппроксимация участка поверхности в окрестностях точки гиперплоскостью Используя полученное уравнение, определяем

направление скорейшего возрастания определяющего параметра, т. е. линию крутого восхождения (рис. 17), которая является нормалью к контурам равных откликов.

В частности, для двумерного случая уравнение контуров равных откликов имеет следующий вид:

а уравнение нормали (см. рис, 17)

3. Выбираем режим испытаний в направлении скорейшего возрастания определяющего параметра и на этом режиме испытываем объект.

Расстояние между выбираем произвольно. Полезным является соотнесение этого расстояния с интервалом варьирования переменных в полном факторном эксперименте или в дробной реплике от него.

Если в результате испытаний оказалось, что то делается следующий шаг в том же направлении. Размеры этого шага вновь произвольны и могут быть выбраны равными размерам первого шага. Так продолжается до тех пор, пока не прекратится увеличение X, т. е. пока не получим, что

4. В окрестности предпоследней точки, соответствующей максимальному значению определяющего параметра, вновь организуем полный факторный эксперимент или дробную реплику от него и вновь находим направление скорейшего возрастания параметра

Рис. 18. График поиска тяжелейшего режима

5. Описанную процедуру повторяем до тех пор, пока не прекратится дальнейшее увеличение параметра

При этом все время должно сохраняться условие Экстремум функции может оказаться внутри области но чаще всего он расположен на ее границе. Поэтому, если в процессе поиска экстремума линия крутого восхождения вышла на границу области С, то целесообразно в окрестностях этого пересечения (рис. 18) осуществить поиск возможного направления дальнейшего возрастания X при перемещении вдоль граннцы области С.

Число экспериментов (испытательных режимов) в такой схеме зависит от размерности параметрического пространства и может быть большим. Причем основное число режимов расходуется на организацию факторного эксперимента. Число точек на траектории поиска может быть невелико, если шаг в направлении крутого восхождения не слишком мал по сравнению с размерами области С.

Вообще говоря, успех и экономичность такой процедуры определяется удачей в выборе начальной точки. Поэтому в данном случае необходимо использовать всю априорную информацию и только после ее всестороннего анализа приступать к испытаниям.

Пример поиска тяжелейшего режима. Испытаем аппаратурный блок в составе датчика линейных ускорений и усилителя. В качестве определяющего параметра X выберем вибрационную ошибку прибора (выходной сигнал усилителя). Ее допустимое значение

Множество эксплуатационных вибрационных состояний представим значениями компонент дисперсионных векторов, характеризующих спектральные плотности процессов, зарегистрированных при эксплуатации. Значения компонент приведены в табл. 1.

Прежде чем приступить к поиску тяжелейшего режима, проведем отсеиваю эксперимент по методу случайного баланса [4].

1. Форма заданий множества

(см. скан)

Анализ диаграмм рассеяния позволил перейти от двадцатимериого пространства вибрации к пятимерному, характеризующемуся следующими полосами частот: Гц.

В качестве границы множества эксплуатационных вибраций выберем выпуклый гипермногогранник, положение которого зададим следующей системой ограничений:

В качестве начальной выберем точку (0,4; 0,1; 0,2; 0,1; 0,1). В окрестности этой точки реализована дробная реплика от полного факторного эксперимента типа 251. План эксперимента и матрица результатов наблюдений представлены в табл. 2.

В результате обработки получим значения коэффициентов регрессии и наметим направление крутого восхождения к области экстремума вибрационной ошибки X, прибора.

Реализация крутого восхождения (нижняя табл. 2) привела к тому, что в реализованном опыте 5 вибрационная ошибка превысила допустимое значение Она оказалась равной 2,66 В.

При этом испытательный режим (0,60; 0,108; 0,208; 0,104) полностью принадлежал области эксплуатационных вибраций.

Процедура поиска тяжелейшего режима — это трудоемкая процедура, поэтому ее используют в случае, когда гипотезу о пустоте подмножества не удается доказать одним из способов, приведенных ниже.

Подходы, связанные с идеями априорного доминирования. Если сравнить два произвольных вибрационных состояния то для рассматриваемого объекта с его определяющим параметром одно из этих состояний может оказаться более тяжелым.

Состояние будем называть доминирующим над состоянием если и обозначим это соотношение

эксплуатационных состояний

(см. скан)

2. План и результаты эксперимента

(см. скан)

Для каждого вибрационного состояния может существовать такое подмножество в пространстве что для любого Такое состояние является доминирующим по отношению к подмножеству

Проведя испытания на некотором режиме и получив удовлетворительный результат, можно утверждать, что на всех режимах доминируемого подмножества результатбудет также удовлетворительный. Следует отметить, что соотношения

доминирования существуют не вообще и справедливы только для данного объекта. Не зная свойств объекта или не проведя его испытаний, нельзя установить соотношения доминирования. В то же время в большинстве случаев можно говорить о соотношениях априорного доминирования для определенного класса объектов, не испытывая их и ничего не зная о их внутренней структуре.

Будем считать, что режим априори доминирует над подмножеством а, если заранее известно, что независимо от типа объекта к для любого Так, если вибрационное состояние описывается дисперсионным вектором то вектор априори доминирует по отношению к любому вектору когда для всех и выполняется неравенство

Действительно, трудно представить такой механизм влияния вибрации, при котором уменьшение уровня вибрации хотя бы в одной из частотных полос ухудшило бы положение с определяющим параметром.

Существует бесконечное число режимов априори доминирующих над множеством С,

Рис. 19. Априори доминирующие режимы

Рис. 20. Минимально доминирующий режим

Рис. 21. Система режимов, обеспечивающих доминирование множества в

Так, на рис. 19 для двумерного случая режим режим режим но С с поэтому

Если испытания объекта провести на любом из этих режимов и результат окажется положительным, то можно утверждать, что объект удовлетворительно перенесет любое состояние из С.

Недостаток состоит в том, что такие режимы оказываются слишком тяжелыми и велика вероятность отрицательного ответа. Однако если на априори доминирующем над множеством С режиме наблюдался функциональный отказ, то это не свидетельствует о том, что Поэтому, используя идею испытания на априори доминирующем режиме, надо постараться выбрать минимально-априори доминирующий режим.

Минимально доминирующий режим по отношению к множеству С (или любому другому) — это такой режим, который, доминируя над С, не является доминирующим по отношению хотя бы к одному режиму, также доминирующему над С (рис. 20). Обозначим его

В частном случае существует единственный минимально-априори доминирующий режим, и его следует выбирать в качестве режима испытаний. Если к то может быть подтверждена гипотеза о пустоте множества О. В противном случае испытания необходимо продолжить. Минимально доминирующий режим может оказаться излишне тяжелым. Это проявляется в том, что объект при испытаниях на данном режиме не может функционировать нормально либо в нем возможны даже механические разрушения.

Чтобы избежать этого, можно провести испытания не на единственном минимально-априори доминирующем режиме, а использовать систему режимов, совокупность которых обеспечивает априорное доминирование множества С.

Пусть режим априори доминирует множество режим и т.д. Тогда, если

(множество С полностью включено в объединение множеств то удовлетворительное функционирование объекта на каждом из режимов II, означает что объект нормально функционирует на всех режимах каждого из априори доминируемых подмножеств.

Но в силу (7) каждый из элементов множества С начнется в то же время элементом хотя бы одного из подмножеств и, следовательно, можно гарантировать удовлетворительное функционирование объекта на всех вибрационных состояниях из С.

Математическая запись этого утверждения сводится к следующему. Если для всех то для любого и в силу того, что обеспечивается для всех Графически интерпретация этого подхода для двумерного случая приведена на рис. 21.

Рис. 22. Минимальная доминирующая система режимов

Рис. 23. Схема перетяжеления испытательных режимов

Априори доминируемое множество состояний для каждого из значений дисперсионного вектора представляет собой прямоугольники в пространстве состояний с правой верхней вершиной в точках Две стороны каждого прямоугольника совпадают с осями координат.

Справа — налево — вниз заштрихована область, являющаяся объединением этих прямоугольников, а область С, заштрихованная с противоположным наклоном, полностью включена в объединение прямоугольников.

Система априори доминирующих состояний также может быть минимальной, если объединение не содержит таких вибрационных состояний, которые не принадлежат множеству в то же время априори доминируются более чем одним из режимов, входящих в систему. Для двумерного случая такая минимальная система показана на рис. 22.

Для сравнения на рис. 22 показан единственный минимально-априори доминирующий режим Он является более тяжелым, поскольку суммарная дисперсия колебаний в таком процессе выше и, кроме того, этот режим доминирует не только над множеством С, но над всеми режимами вместе с доминируемыми ими подмножествами.

Выбор системы априори доминирующих режимов является в известной степени произвольным как в отношении числа режимов, входящих в систему, так и в отношении выбора режимов. Чем больше режимов включается в систему, тем меньше «излишних» требований предъявляется к объекту. Если определяющий параметр вышел за поле допуска на одном из режимов из системы с небольшим числом

режимов, то вполне возможно, что он будет вполне удовлетворительно функционировать на всех режимах из системы, включающей достаточно большое число доминирующих режимов.

На рис. 23 заштрихованы все состояния, которые оказываются «излишними» при испытаниях системой с малым числом режимов по сравнению с испытаниями системой большого числа режимов.

Таким образом, принципиально возможна такая последовательность:

1) вначале испытания ведутся на единственном априорн доминирующем режиме (лучше минимальном). Если то испытания прекращаются;

2) при пытаются построить минимально-априори доминирующую систему из двух-трех состояний. На ней проводят испытания, и, если на каждом из них то испытания прекращают, так как доказано, что В противном случае создается новая система из большего числа режимов, и т. д.

3. Форма задания множества

(см. скан)

В какой-то момент времени возникает ситуация, когда число режимов, входящих в минимально-априори доминирующую систему, становится соизмеримо с тем числом режимов, которое необходимо для реализации процедуры поиска тяжелейшего режима. Тогда целесообразно перейти именно к схеме испытаний, которая описана выше.

Пример выбора априори доминирующего режима. Испытаем промышленную телевизионную установку. Заключение о виброустойчивости примем в форме «да—нет», т. е. рассмотрим случаи: был срыв изображения в условиях воздействия эксплуатационных вибраций или нет.

Множество эксплуатационных вибрационных состояний представим значениями компонент дисперсионных векторов, характеризующих спектральные плотности процессов, зарегистрированных при эксплуатации. Значения компонент дисперсионных векторов приведены в табл. 3.

В качестве априори доминирующего режима выбираем режим (1,6; 0,9; 0,55; 0,36; 0,32; 0,22; 0,5; 0,3; 0,21; 0,33; 0,29; 0,22; 0,25; 0,28; 0,22; 0,23; 0,29; 0,34; 0,6; 0,27), для которого выполняется соотношение где .

Испытания показали, что после приложения априори доминирующего режима происходит срыв изображения. Поэтому принято решение подвергнуть установку испытаниям на тяжелейшем режиме, которые она успешно выдержала.

Одним из двух рассмотренных выше путей, т. е. с использованием идеи априорного доминирования или реализацией процедуры поиска тяжелейшего режима в пределах множества эксплуатационных вибрационных состояний, решается задача проверки гипотезы о том, что множество состояний ведущих к функциональному отказу, пусто. Если ее удается подтвердить, то вибрационные испытания

заканчиваются. Таким образом, получен вывод о том, что любая эксплуатационная вибрация не может вызвать нарушений функционирования объекта.

В противном случае возникает следующая ситуация. Поскольку на тяжелейшем режиме допуск нарушен , можно сделать вывод, что Это значит, что есть некоторая разделяющая поверхность и от ее положения в параметрическом пространстве зависит то, как часто в условиях эксплуатации возможны нарушения работы объекта. Поэтому следующей фазой испытаний должна явиться процедура построения разделяющей поверхности. Но прежде чем перейти к описанию этой процедуры, целесообразно отметить особенности еще одного возможного случая: когда границы множества С в пространстве не заданы, а задана лишь вероятностная мера на множестве

В этом случае нельзя поставить вопрос о том, что существует режим, доминирующий над всеми возможными в эксплуатации состояниями, поскольку функция распределения вероятностей может быть и такой, которая принципиально допускает любое значение параметрического вектора, т. е. множество С оказывается областью без «жестких границ».

эксплуатационных состояний

(см. скан)

Здесь, очевидно, требуется трансформация постановки задачи и вместо доказательства гипотезы о пустоте множества следует доказать, что вероятность появления в условиях эксплуатации вибрационных состояний, вызывающих нарушения функционирования объекта, не может превысить некоторого выбранного значения

На этом этапе речь пойдет не об определении оценки вероятности того, что на некотором интервале вибрационное состояние окажется принадлежащим подмножеству а о получении оценки сверху: действительная вероятность должна быть заведомо меньше

Как и во всех описанных случаях постепенного наращивания сложности испытаний, здесь действует та же закономерность: чтобы получить менее информативный показатель (вместо точечной — интервальную оценку), можно потратить меньшее число опытов, т. е. провести испытания на меньшем числе режимов.

Пусть режим априори доминирует над множеством Если испытать объект на этом режиме и при этом окажется, что он успешно функционирует, т. е. то можно утверждать, что он будет успешно функционировать на всех режимах следовательно, . Очевидно, что

Если, используя информацию о функции распределения, удалось вычислить вероятность вероятность появления вибрационного состояния из доминируемого подмножества то можно утверждать, что вероятность успешного функционирования больше, а вероятность состояния, вызывающего отказ, соответственно меньше, чем Отсюда возникает схема проведения испытаний.

Сначала следует задаться некоторым уровнем оценки сверху вероятности функционального отказа. Затем выбирать такое значение режима для которого вероятность непопадания состояния в равна Конечно, существует бесчисленное множество режимов, для которых это условие выполняется (рис. 24). Поэтому может быть выбран любой из этих режимов, что позволяет осуществлять выбор с учетом некоторых других требований, например простоты воспроизведения в лабораторных условиях и т. д.

Используя не один, а несколько режимов испытаний можно доказать высказанное выше положение: прибегая к более легким вибрационным состояниям или (что то же самое) используя режимы той же степени тяжести, добиться более низких значений

Рассмотрим случай с использованием двух режимов: Каждый из них априори доминирует над подмножеством Если объект успешно прошел испытания на обоих режимах, то и можно утверждать, что любой режим на пересечении этих подмножеств также обеспечивает принадлежность определяющего параметра полю допуска, т. е. для всех

Рис. 24. Геометрическое место состояний с равной вероятностью попадания в априори доминируемые подмножества

Рис. 25. Совокупность режимов эквивалентных режиму

Вероятность в силу того, что (при успешных испытаниях на и следовательно, вероятность состояния, вызывающего отказы, меньше выбранного значения так как

Для произвольного набора режимов испытаний каждый из которых успешно выдерживается объектом, имеем

Следовательно,

Если то так как

На рис. 25 показаны два подмножества множества С, имеющие одинаковые вероятности попадания в них эксплуатационных состояний. Одна получена пересечением априори доминирующих областей для нескольких режимов. Другая представляет собой априори доминирующую область для одного режима. Видно, что в последнем случае этот режим более тяжелый, т. е. объект может выдержать все испытания на режимах первой группы и не выдержать испытание единственным режимом.

Одна и та же вероятность попадания эксплуатационного состояния в множество может достигаться для различных режимов Поэтому при назначении

совокупности испытательных режимов необходимо стремиться к тому, чтобы для заданного уровня вероятности режимы из этой совокупности оказывались по возможности более легкими.

Однако используя подходы априорного доминирования для любой пары режимов, ни один из которых не доминирует над другим (только такие режимы и следует включать в испытательную совокупность), нельзя установить соотношение «легче - тяжелее». Поэтому рекомендуется выбрать произвольную совокупность испытательных режимов, соответствующую требуемому уровню вероятности, и проводить испытания. Если на одном или нескольких режимах наблюдается выход определяющего параметра за поле допуска, то следует попытаться заменить эти режимы, чтобы вероятность непопадания в объединение вновь образовавшихся доминирующих подмножеств (включая подмножества от тех режимов, испытания на которых прошли успешно) осталась прежней, но объект успешно переносил эти режимы.

Естественно, что такая процедура имеет смысл только до тех пор, пока число испытательных режимов, затрачиваемых на поиск, заметно меньше, чем на процедуру построения разделяющей поверхности, которая будет рассмотрена ниже.

Определение точечной оценки вероятности невыхода при эксплуатации определяющего параметра за поле допуска методом построения разделяющей поверхности. Если описанные выше методы не позволяют принять гипотезу о том, что подмножество пусто, то следует переходить к процедуре испытаний, направленной на получение точечной оценки вероятности невыхода определяющего параметра за поле допуска при эксплуатации.

Общая идея построения такой процедуры сводится к следующему. Если подмножества не пусты, то в пространстве вибрационных состояний есть некоторая поверхность разделяющая множество С на подмножества ни Если ее уравнение известно, то вероятность того, что при эксплуатации на интервале состояние окажется в пределах и, может быть определена интегрированием функции плотности распределения вероятностей по всей области и, т. е.

где

Таким образом, задача получения точечной оценки вероятности сводится к задаче построения разделяющей поверхности т. е. к построению некоторой аппроксимирующей функции являющейся достаточно близкой к истинной разделяющей поверхности. Следовательно, вероятности полученные интегрированием соответственно по истинной и аппроксимирующей разделяющим поверхностям, должны близки.

Аппроксимирующая функция может быть получена только в процессе вибрационных испытаний, и, следовательно, план этой фазы виброиспытаний объекта должен быть таким, чтобы получить оценку с минимальными затратами, т. е. с помощью минимального числа вибрационных состояний, использованных в качестве испытательных.

Рациональная программа виброиспытаний для построения разделяющей поверхности зависит от наличия априорных сведений о ее виде. Если таких сведений нет, то целесообразно рассмотреть последовательный ряд все более усложняющихся гипотез и организовать проверку каждой из них, чтобы получить приемлемый результат.

1. Пусть имеется основание для того, чтобы считать, что разделяющая поверхность представляет собой гиперплоскость в пространстве вибрационных состояний и является одной из параллельных между собой гиперплоскостей, каждая из которых представляет собой геометрическое место точек равнотяжелых режимов в пространстве вибрационных состояний. Это значит, что имеется семейство гиперплоскостей

где и при одна из них является разделяющей поверхностью.

В этом случае испытания предельно просты. Выбирают произвольную точку в пространстве вибрационных состояний в качестве испытательного режима и на этом режиме проводят испытания. Если то определяется направление скорейшего увеличения 1 (как при поиске тяжелейшего режима). В этом направлении последовательно выбирают новые испытательные режимы до тех пор, пока на одном из них не будет достигнут или превышен допуск Поскольку в этом случае направление скорейшего возрастания определяющего параметра в пространстве состояний не изменяется и не зависит от выбора начальной точки, направление движения в сторону разделиющей поверхности определяют один раз (рис. 26).

Когда определена одна точка на разделяющей поверхности — уравнение поверхности получить нетрудно, так как известно положение нормали к исходной гиперплоскости и одна точка гиперплоскости.

2. Если по-прежнему можно считать, что разделяющая поверхность — гиперплоскость, но семейство равнотяжелых поверхностей нельзя считать параллельными гиперплоскостями, то программа испытаний близка к описанной выше. Она отличается тем, что направление движения от начальной точки к точке на разделяющей поверхности отличается от прямолинейного, и в процессе движения возникает необходимость уточнения направления скорейшего возрастания определяющего параметра. Кроме того, при достижении точки необходимо провести испытания при нескольких вибрационных состояниях для уточнения угловой ориентации разделяющей гиперплоскости (рис. 27).

Рис. 26. Схема построения раз деляющей поверхности для случая, когда семейство равнотяжелых поверхностей — параллельные гиперплоскости

Рис. 27. Схема построения разделяющей поверхности для случая, когда она является гиперплоскостью

Рис. 28. Схема построения аппроксимации разделяющей поверхности произвольной формы

3. Если разделяющую поверхность нельзя считать гиперплоскостью в пределах области, где вероятность появления состояний в эксплуатации заметно отличается от нуля, то можно попытаться осуществить аппроксимацию этой поверхности некоторым гипермногограиником, грани которого образованы гиперплоскостями, касательными к разделяющей поверхности.

Такую схему можно реализовать, выйдя на разделяющую поверхность в разных местах из различных начальных точек пространства состояний (рис. 28), а затем в окрестностях каждой найденной точки на разделяющей поверхности провести эксперимент для определения угловой ориентации аппроксимирующих гиперплоскостей.

Условие принадлежности вибрационного состояния к подмножеству этом случае описывается системой линейных неравенств:

4. Если для рассматриваемого объекта известно аналитическое выражение для разделяющей поверхности произвольного вида, т. е. известна структура этого выражения, и задача состоит в том, чтобы определить коэффициенты, входящие в это выражение, процедура испытаний должна быть следующей.

Необходимо описанным выше способом найти координаты нескольких точек, лежащих на разделяющей поверхности (например, осуществляя быстрый спуск на разделяющую поверхность из ряда произвольных точек). Число этих точек должно быть равным числу неизвестных коэффициентов в уравнении

Пусть, например, неизвестные коэффициенты. Тогда уравнение разделяющей поверхности может быть записано в следующем виде:

В этом уравнении неизвестны все коэффициенты и 6, т. е. неизвестных. Если найдены точки на разделяющей поверхности и их координаты

то решение системы уравнений

относительно неизвестных и 6 даст искомый результат: уравнение может быть записано в явном виде.

Так как при любом эксперименте и измерении возможны ошибки, точность определения коэффициентов уравнения разделяющей поверхности может быть повышена, если число экспериментов больше, чем число неизвестных коэффициентов. В этом случае обработка результатов испытаний с целью определения коэффициентов может быть осуществлена, например, методом наименьших квадратов.

Пример построения разделяющей поверхности. Испытаем датчик линейных ускорений поступательного типа. В качестве определяющего параметра выберем его вибрационную ошибку. Ее допустимое значение примем равным

Множество вибрационных состояний в данном случае представим множеством стационарных случайных процессов, сформированных из суммы четырех узкополосных процессов с произвольными комбинациями дисперсий в полосах частот Полосы частот характеризуются следующими значениями: Гц. Ограничений на уровень дисперсий по полосам не накладываем.

Целью эксперимента является построение функции

При проведении эксперимента одновременно испытаем два датчика и их ошибки усредним для уменьшения влияния случайного разброса. Все опыты рандомизируем во времени с помощью таблицы случайных чисел. В качестве начальной точки выберем точку . При этом вибрационная ошибка датчика 0,563 В. В окрестности этой точки проведем факторный эксперимент типа с определяющим контрастом Результаты этого эксперимента приведены в табл. 4. В ней же указаны найденные коэффициенты регрессии и точки движения в направлении скорейшего возрастания

Как видно из табл. 4, в точке 4 при доп Для получения плоскости, касательной к разделяющей поверхности в точке , в окрестности этой точки проведем новый эксперимент, план и результаты которого предстаглены в табл. 5. Уравнение касательной имеет вид

4. План и результаты эксперимента

(см. скан)

5. План и результаты эксперимента

(см. скан)

Далее описанным выше способом найдем направление движения в этой плоскости, в котором происходит наибольшее удаление от функции к

В этом направлении возьмем точку с координатами , в которой значение определяющего параметра к — 1,45. Произошло существенное отклонение от разделяющей поверхности. Поэтому был организован спуск на разделяющую поверхность. План этого эксперимента и траектория кратчайшего спуска на разделяющую поверхность приведены в табл. 6,

В точке вновь достигнуто значение Для построения касательной в этой точке выполним новый эксперимент, план и результаты которого приведены в табл. 7.

В этом случае уравнение касательной плоскости имеет вид

Полученную пару плоскостей можио рассматривать как приемлемую оценку разделяющей поверхности. Далее по формуле можно оценить виброустойчивость исследуемого датчика.

6. План и результаты эксперимента

(см. скан)

7. План и результаты эксперимента

(см. скан)