2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ ПРИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ВХОДНЫХ СИГНАЛАХ

Динамические характеристики одномерных систем. Значительная часть средств измерений (например, датчики, согласующие устройства, усилители, фильтры, регистрирующие устройства) представляет собой одномерные линейные стационарные динамические системы. Преобразование сигналов в таких системах удобно характеризовать динамическими характеристиками. К настоящему времени в ГОСТ 8.256-77 ГСИ установлены классификация динамических характеристик (ДХ) средств измерений, основные правила выбора нормируемых динамических характеристик СИ, формы представления ДХ и основные требования к методам их экспериментального определения. Полными ДХ, знание которых позволяет рассчитать законы изменения выходного сигнала и динамической погрешности при любых законах изменеиия измеряемой величины, являются дифференциальное уравнение, импульсная характеристика, переходная характеристика, передаточная функция, совокупность амплитудно- и фазо-частотной характеристик и ФЧХ соответственно).

К числу частных ДХ относят параметры полных ДХ, а также любые характеристики, не отражающие полностью динамические свойства СИ, но удобные для практического использования

Полные ДХ могут быть представлены в аналитической, графической и табличной формах, причем предпочштельной является аналитическая форма. В соответствии с общими принципами метрологии помимо ДХ нормируют их отклонения от номинальных, чтобы при любых заданных законах изменения измеряемой величины могли быть оценены пределы изменения динамических погрешностей. Рассмотрим последовательно полные ДХ

Дифференциальное уравнение СИ. Дифференциальное уравнение связи измеряемой величины и выходного сигнала для стационарной системы с сосредоточенными параметрами записывается в форме

где полиномы. Описание с помощью дифференциальных уравнений естественно при предварительном теоретическом анализе свойств систем и Удобно при математическом моделировании (при расчете погрешностей на ЭВМ).

Импульсная характеристика. Связь измеряемой величины и выходного сигнала может быть представлена в форме

Здесь слагаемое определяет переходный процесс, обусловленный начальными условиями в момент времени а интеграл свертки определяется только законом изменения измеряемой величины. При этом способе описания полной является импульсная характеристика которая имеет смысл реакции

на единичный импульс (-функцию); для стационарной системы она зависит от разности аргументов. Импульсную характеристику удобно использовать для описания реакции СИ на короткие импульсы.

Переходная характеристика связана с импульсной характеристикой соотношением

Переходная характеристика считается самостоятельной ДХ, она представляет собой реакцию на единичное скачкообразное воздействие (единичную функцию)

Передаточная функция. Связь между измеряемой величиной и выходным сигна лом СИ при нулевых начальных условиях может быть представлена в операторной форме

где и преобразования по Лапласу выходного сигнала и измеряемой величины, передаточная функция, определяемая как преобразование Лап ласа от импульсной характеристики:

При замене получается комплексная частотная характеристика Для системы с сосредоточенными параметрами частотная характеристика представ ляет собой дробно-рациональную функцию

где те же полиномы, что и в дифференциальном уравнении преобразования Фурье сигналов:

Амплитудно-частотная A(w) и фазово-частотная характеристики непосред ственно выражаются через комплексную частотную характеристику следующим образом:

АЧХ и ФЧХ определяют установившийся режим при синусоидальном законе изме нения измеряемой величины, когда

АЧХ и ФЧХ чаще всего используют при представлении экспериментальных данных.

Совокупность АЧХ и ФЧХ наиболее наглядно отображает динамические свойства СИ. Обычно АЧХ строят в логарифмической сетке [1] [по оси ординат в децибелах а в полулогарифмической сетке (по осн ординат масштаб натуральный). При этом удобно описывать динамические свойства в широких диапазонах. Если характерные частотные параметры (корни и полюса передаточной функции) значительно различаются по абсолютной величине, то АЧХ графически

приближенно представляется в виде ломаной линии, причем прямолинейные участки имеют наклоны, коэффициенты которых кратны В местах сопряжений участков различных наклонов могут быть плавные переходы или пики. Резонансные пики могут быть вблизи частот, при которых происходит изменение коэффициента наклона на рис. 1). При выполнении определенных условий (в частности, при условии минимальной фазы [5]). ФЧХ однозначно определяется поведением АЧХ, а именно участкам постоянного наклона АЧХ соответствует постоянное значение фазы, изменению наклона на изменение фазы на

Частотные характеристики динамических погрешностей СИ. При выборе СИ по заданным ограничениям на динамические погрешности целесообразно строить ДХ не для выходного сигнала, а для динамической погрешности Комплексная частотная характеристика и соответствующая АЧХ для динамической погрешности могут быть определены несколькими способами. Для СИ, имеющих частотные характеристики как у фильтра нижних частот, существуют два способа ее определения (рис. 2).

Рис. 1. Амплитудио- и фазово-частотиая характеристики линейной системы

Рис. 2. График для определения динамической погрешности СИ, имеющего АЧХ типа фильтра нижних частот

1. Погрешность определяется как разность выходного сигнала СИ и приведенной к выходу измеряемой величины в один и тот же момент времени. В этом случае и

Если считать то при малых значениях погрешности может быть использовано приближенное представление исходя из разложения ряд при сохранении слагаемых первого порядка малости:

Выражение (13) определяет скоростную составляющую динамической погрешности, величина Ту представляет собой эквивалентное время запаздывания, она же определяет продолжительность переходных процессов. В области низких частот (при ) ДЧХ для динамической погрешности представляет собой прямую с наклоном независимо от сложности вида его действительной передаточной функции (см. рис. 2).

2. Необходимо определить только амплитудную погрешность. В этом случае

В области низких частот

что представляется прямой с наклоном 40 дБ/дек.

При использовании простейших аппроксимаций вида (13) и (15) можно избежать детального исследования конкретных передаточных функций СИ. Так, если свойства СИ характеризуются передаточной функцией второго порядка

то

Когда измеряемая величина изменяется но синусоидальному закону, (17) непо средственно определяют относительные амплитуды погрешностей.

Примечание Динамические свойства многомерных линейных стационарных систем с входами и выходами могут быть описаны с помощью дифференциальных уравнении или совокупности импульсных характеристик (матричная импульсная характеристика), или совокупности передаточных функций (матричная передаточная функция)

Замечания о линейных нестационарных системах. Для описания преобразований сигналов, осуществляемых нестационарными системами, используют те же приемы, что и для стационарных систем. Отметим три класса нестационарных систем, которые представляют наибольший интерес для решения практических задач.

1. Системы с периодическими параметрами Их исследование опирается на хорошо разработанный математический аппарат теории дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами [9] (см также гл. VII). Специфическим видом периодически нестационарного преобразования является дискретизация по времени с постоянным шагом; свойства этого преобразования кратко рассмотрены в разделе 5.

2. Системы с параметрами, которые колеблются с высокой частотой в достаточно узких пределах относительно средних значений. Хотя в таких условиях могут возникать новые качественные эффекты, часто достаточно считать параметры по-стоинными, равными их средним значениям [5]

3. Системы с медленно изменяющимися параметрами. Если скорость изменения параметров мала по сравнению со скоростью затухания переходных процессов, используют приближенный метод «замороженных» коэффициентов Решение находят как для постоянных значений параметров, а затем в полученных решениях эти параметры считают функциями времени [15]. Переход к моделям стационарных систем обычно возможен, если параметры изменяются достаточно медленно, т. е. если малы изменения параметров на интервалах времени порядка длительности переходных процессов.