3. ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛЕЙ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Оценивание параметров импульсной переходной функции. Предполагается, что импульсная переходная функция представляется конечным рядом по некоторой системе линейно-независимых нкций

В соответствии с (84) уравнение (55) представляется в следующем виде

и задача оценивания импульсной переходной функции эквивалентна оцениванию векторного параметра с.

Тогда для случая наблюдений вида

оценка и ее ковариационная матрица V методом наименьших квадратов определяются по уравнениям

где

квадратная матрица и вектор-столбец размерностей соответственно; — помеха типа белого шума с нулевым средним и интенсивностью

Когда входной сигнал является стационарным (в широком смысле) случайным процессом, оценки параметров с можно получить, исходя из уравнения Винера-Хопфа:

В данном случае оценку с также можно представить в виде (87), учитывая другой способ определения элементов матрицы А и вектора

где соответствующие оценки авто- и взаимно-ковариационных функций. Поскольку ковариационные функции физических систем заметно отличаются от нуля только в конечном интервале -ттах, ттах], верхний предел интегрирования в (90) можно заменить величиной ттах Проблема выбора функций обсуждается в работах [5, 10].

Если импульсная переходная функция является достаточно гладкой и быстро убывает, то в качестве координат векторного параметра с можно рассматривать значения импульсной переходной функции в дискретные моменты времени:

Тогда элементы матрицы А и вектора в уравнении (87) определяют следующим образом

где шаг дискретизации импульсной переходной функции.

Уравнения (87) остаются справедливыми и при оценивании импульсной переходной функции стационарных дискретных моделей, если интенсивность заменяется дисперсией дискретного белого шума. При этом интегральные операторы в выражениях (85) и (90) аппроксимируются соответствующими суммами.

Регуляризация задачи оценивания импульсной переходной функции. Как следует из изложенного, оценивание импульсной переходной функции основывается на решении соответствующей системы линейных уравнений, которая может получиться вырожденной (определитель системы равен нулю) или плохо обусловленной (определитель системы близок к нулю) В таких случаях малым изменениям в векторе или матрице А могут соответствовать большие изменения решения задача оценивания импульсной переходной функции относится к некорректным задачам [36]. Поэтому появляется проблема регуляризации — проблема нахождения обобщенных решений, которые устойчивы к малым изменениям элементов матрицы А и вектора .

В соответствии с теорией регуляризации [1, 36] вместо первого уравнения в (87) следует использовать уравнение

где некоторый скаляр, называемый регуляризирующим фактором; I — единичная матрица.

Регуляризирующее воздействие оказывает априорная информация о векторе с. Например, если принять, что координаты векторного параметра с независимы между собой и имеют одинаковую дисперсию то в случае оценивания импульсной переходной функции применение критерия (17) приводит к уравнению (93) с регуляризующим фактором:

Оценивание параметров линейных дифференциальных уравнений. Пусть связь между входным и выходным сигналами описывается обыкновенным

дифференциальным уравнением

где

При наблюдениях выхода системы с аддитивной стационарной помехой белого шума оценивание параметров модели (95) по методу наименьших квадратов состоит в минимизации функции

в допустимой области С, которая является областью устойчивости решений дифференциального уравнения. Для вычисления оценок следует использовать итерационные алгоритмы типа (28). Градиент функции (97), который необходим при выборе направления поиска, состоит из двух составляющих:

где

Начальные условия для дифференциальных уравнений в (99) и (100) получаются нулевыми. В то же время для уравнения (95) они дояжиы быть заданными. Однако при решении многих практических задач начальные условия бывают неизвестными, Тогда приходится их принимать либо нулевыми, что приводит к дополнительным ошибкам оценок, либо усложнить задачу, оценивая неизвестные начальные условия совместно с параметрами модели [30, 44].

Оценивание параметров линейных разностных уравнений. Когда наблюдения за входным и выходным сигналами получены в дискретные моменты времени (либо непрерывные сигналы дискретизируются в связи с применением ЭЦВМ), модель линейной системы задается в виде линейного разностного уравнения

где

— полиномы, не имеющие общих корней. Тогда оценки по методу наименьших квадратов должны минимизировать функцию

в допустимой области С, которая является областью устойчивости решений разностного уравнения (101). В последнем уравнении число дискретных наблюдений.

При вычислении оценок параметров следует использовать итерационные алгоритмы типа (28). Градиент функции (103) также имеет структуру вида (98), а отдельные компоненты вычисляются следующим образом:

Начальные условия для разностных уравнений в (104) и (105) являются нулевыми. В качестве начальных неизвестных условий для уравнения (101) приближенно можно использовать первых значений последовательности Начальные условия можно оценивать совместно с параметрами модели усложняя задачу [30, 44].

Алгоритмы оценивания параметров, основанные на численных методах оптимизации, легко применяют и при коррелированных помехах, имеющих дробно-рациональные спектральные плотности

где корни полиномов и лежат вне единичной окружности; неизвестные параметры. В этом случае согласно обобщенному методу наименьших квадратов следует минимизировать функцию [12]

по параметрам Другие модели и методы подробно описаны в работе [44].

Оценивание параметров многомерных систем. Пусть значения векторного входного сигнала системы с входами и выходами в дискретные моменты времени представляются в виде

где матрицы размерности элементы которых

-мерный выходной сигнал; -мерный входной сигнал; -мерная последовательность

помех, имеющая нулевое среднее и ковариационную матрицу

положительно определенная матрица размерности нулевая матрица. Обозначим

Тогда уравнение (108) представляется в следующем виде:

где

— матрица размерности элементами которой являются неизвестные параметры уравнения (108),

— вектор-строка размерности Тогда оценивание матрицы С по методу наименьших квадратов [22] приводит к уравнению

где

— матрицы размерности соответственно; число наблюдений.

Когда модель многомерной системы строится не в виде многомерного разностного уравнения (108), а в форме многомерной дискретной весовой функции, уравнение модели можно получить из (108), подставляя в него Тогда представляет собой усеченную в дискретный момент времени матричную дискретную весовую функцию многомерной системы, и по уравнению (115) получается оценка матричной дискретной весовой функции.