3. ИДЕАЛИЗИРОВАННЫЕ ДВУХПОЛЮСНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И ЗВЕНЬЯ МЕХАНИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

В настоящем разделе рассмотрены элементарные пассивные и активные идеализированные двухполюсные элементы механических цепей и звенья из этих элементов.

Переменные двухполюсника. Любой двухполюсник в принятой системе отсчета можно характеризовать силами приложенными к его полюсам 1 и 2, и параметрами движения полюсов (рис. 1). Для перемещений полюсов имеем

где исходные и текущие координаты точек единичный вектор оси

Скорости и ускорения полюсов определяют из выражений

Рис. 1. Двухполюсннк с полюсами 1 и 2

Относительное движение полюсов удобно характеризовать с помощью кинематических векторов двухполюсника относительное перемещение, относительная скорость; а — относительное ускорение полюсов; эти векторы ниже обобщенно обозначаются буквой к);

где кинематические переменные двухполюсника, обобщенно обозначаемые буквой единичные векторы, направленные от полюса с большим алгебраическим значением кинематической переменной к полюсу с ее меньшим алгебраическим значением. Положительно направленным векторам отвечает сближение полюсов двухполюсника, поэтому при условии, что координата полюса меньше координаты полюса

Так, для указанных на рис. 2 индексации полюсов и направления оси

В двухполюснике силы и полюсов равны по величине и противоположно направлены (см. рис. 1):

где воспринимаемая двухполюсником сила; силовая переменная двухполюсника. Для однозначного толкования уравнений (7) примем следующее правило задания направлений сил, приложенных к полюсам извне, когда заданы направления воспринимаемой двухполюсником силы и оси если эти направления совпадают, то к двухполюснику приложены сжимающие силы, если они не совпадают, то приложены растягивающие силы (рис. 3). Величины временные двухполюсника, полюсные переменные. Характер движения полюсов (сближение или удаление) и приложенных сил (сжимающие или растягивающие) не зависит от принятого положительного направления оси поэтому при изменении направления оси на обратное аналогично зменяются направления векторов

Элементарные пассивные двухполюсники. К основным элементарным пассивным Ухполюспикам относятся: упругий элемент (УЭ) - упругость, днссипативный

элемент демпфер и инерционный элемент масса. Отличительной чертой этих элементов является простота математических соотношений, связывающих переменные двухполюсника.

Упругий элемент (упругость). Упругость есть идеальный механическии элемент, относительное перемещение полюсов которого пропорционально приложенной (воспринимаемой) силе (рис. 4). Для сил приложенных к полюсам и 2. имеем [см. уравнения (3) и (6)]

Где с коэффициент жесткости упругого элемента; переменные двухполюсника. Положительному значению переменной отвечает деформация сжатия УЭ, а отрицательному — деформация растяжения. В принятой системе отсчета

Рис. 2. Двухполюсники с векторами относительного перемещения полюсов

Рис. 3. Графив связи направлений сил, приложенных к полюсам извне, с направлениями воспринимаемой двухполюсником силы и оси а — сжимающие силы; растягивающие силы

Рис. 4. Схема упругого элемента

УЭ можно характеризовать ассоциированным направлением, задавая при элементе стрелку (рис. 5). Направление называют ассоциированным, поскольку с ним связаны направления векторов векторы одинаково направлены относительно него. Если стрелка направлена так же, как и ось то при совпадении с ней направлений векторов к полюсам двухполюсника приложены сжимающие силы, а при несовпадении растягивающие.

Следовательно, задание ассоциированного направления позволяет учитывать знак переменных двухполюсника. Рассматриваемый упругий элемент можно представить графом — схематическим рисунком в виде линии с полюсами, на котором стрелкой отмечено ассоциированное направление (рис. 5). Ассоциированное направление может быть выбрано произвольно, важно только знать его связь с направлением оси Из уравнения (8) следует, что

Диссипативный элемент (демпфер). Демпфер есть идеальный механический элемент, у которого относительная скорость полюсов пропорциональна приложенной (воспринимаемой) силе (рис. 6). Для сил приложенных к полюсам 1 и 2, с учетом равенств (4) и (6) можно записать:

где коэффициент сопротивления диссипативного элемента. Положительному значению переменной двухполюсника отвечает сближение полюсов. По аналогии с упругим элементом демпферу можно придавать ассоциированное направление,

так как векторы одинаково направлены. Пусть, например, ассоциированное направление совпадает с направлением оси В этом случае при совпадении направления векторов с ассоциированным направлением к полюсам демпфера приложены сжимающие силы, а при несовпадении растягивающие.

Рис. 5. Упругий элемент с выбранным ассоциированным направлением и его граф

Рис. 6. Схема демпфера

Рис. 7. Демпфер с выбранным ассоциированным направлением и его граф

На рис. 7 показан демпфер с выбранным ассоциированным направлением и граф демпфера.

Из уравнения (10) следует, что

Инерционный элемент (масса). Масса есть идеальный механический элемент, у которого относительное ускорение полюсов а пропорционально приложенной (воспринимаемой) силе в принятой системе отсчета. Один полюс массы как двухполюсника жестко связан с принятой системой отсчета (в общем случае неинерциальной) и имеет ее ускорение (рис. 8).

Рис. 8. Схема инерционного элемента как двухполюсника

Рис. 9. Инерционный элемент с выбранным ассоциированным направлением и его граф

С принятой системой отсчета связана ось ось связана с инерциальной системой отсчета. Для ускорений полюсов с учетом равенств (5) и (6) можно записать

ускорения полюсов в принятой системе отсчета; абсолютные Ускорения полюсов (в инерциальной системе огсчега); а — относительное ускорение полюсов двухполюсника; единичный вектор осей

В принятой системе отсчета в полюсах приложены силы

где масса инерционного элемента.

Векторы одинаково направлены, поэтому с массой как двухполюсником тоже можно связывать ассоциированное направление. Если ассоциированное направление одинаково с направлением оси то при совпадении направления векторов с ассоциированным направлением к полюсам массы как двухполюсника приложены сжимающие силы, при несовпадении направлений растягивающие. На рис. 9 показана масса с выбранным ассоциированным направлением и ее граф. Из уравнения (13) следует, что

Если принятая система отсчета движется с абсолютным ускорением, равным абсолютному ускорению инерционного элемента; то в соответствии с уравнением (13) в этой системе отсчета на ИЭ как бы не действуют никакие силы

Рис. 10. Эквивалентные цепи механической системы в абсолютной (а) и подвижной (б) системах отсчета: оси абсолютной и подвижной систем отсчета; 1,2 — инерционные элементы с массами и упругие элементы; 5, 6 — источники переносных сил инерции и — ускорение подвижной системы отсчета относительно абсолютной

Если принятая система отсчета инерциальна; то в соответствии со вторым законом Ньютона и уравнением Из уравнений (13) и (12) следует, что

где воспринимаемая массой сила в инерциальной системе отсчета (абсолютная воспринимаемая сила).

Поскольку в уравнениях динамики, записанных в подвижной системе отсчета, фигурируют абсолютные воспринимаемые силы, в соответствии с уравнением (15) в подвижной системе отсчета параллельно каждой массе к механической цепи должен быть добавлен источник, создающий силу (см. рис 10). Таким же образом осуществляется переход от кинематического возбуждения к силовому.

Тождественный элемент можно рассматривать как вырожденный безынерционный упругий элемент, жесткость которого бесконечно велика. У этого элемента движение полюсов одинаково;

Нулевой элемент. Этот элемент тоже можно рассматривать как вырожденный безынерционный упругий элемент, жесткость которого равна нулю. Воспринимаемая этим элементом сила равна нулю, т. е. он не препятствует движению полюсов.

Тождественный и нулевой элементы используют при анализе механических цепей с помощью теорем Тевенина и Нортона, при составлении исходных и

дуальных цепей соединений двухполюсников, когда порождающая механическая цепь содержит точки, имеющие тождественно равные кинематические величины, но разные координаты (см, пример на стр. 65).

Примечание. Иногда в механические цепи с поступательным движением включают трансформирующие элементы — рычаги [6, 8]. Рычаг является идеализированным механическим элементом, изменяющим масштаб полюсных переменных плеч устройства и знак о/гнои из переменных (рис II). Однако рычаг не является двухполюсником, так как в механическую цепь он включается через три точки и 3 на рис. II) Используя координатную запись векторов

можно записать следующие соотношения для рычага, изображенного на рис. 11, а:

и рычаг а, изображенного на рис. 11, б:

где воспринимаемые силы и скорости полюсов; коэффициент трансформации.

При рассмотрении механической цепи рычаг можно исключить из нее, учтя его влияние изменением масштаба параметров ряда элементов.

Рис. 11. Трансформирующий элемент (рычаг)

Элементарные активные двухполюсники. Активные двухполюсники являются идеализированными механическими элементами — источниками механической энергии. Их условно делят на источники (возбудители) силы и источники (возбудители) кинематических величин — перемещений, скоростей, ускорений. Все идеальные источники имеют бесконечную мощность, но в каждом отдельном случае название источника определяется его внутренним сопротивлением. Источник силы имеет нулевое внутреннее сопротивление: при отсутствии порождаемой силы он не оказывает сопротивления движению системы, при этом его полюсы повторяют движение полюсов элементов, к которым они присоединены. Источники кинематических величин имеют бесконечное внутреннее сопротивление: при отсутствии порождаемой кинематической величины они не сообщают системе энергии, а относительное перемещение полюсов источника при этом равно нулю.

Источник силы. Источник силы есть идеальный механический элемент с нулевым внутренним сопротивлением, который создает в полюсах силы известного вида при произвольных, определяемых свойствами возбуждаемой системы, перемещениях полюсов (рис. 12). Для источника силы в полюсах 1 и 2

где — силы, создаваемые источником силы в полюсах 1 и 2; силы, воспринимаемые источником силы в полюсах и 2 при взаимодействии с механической системой. Таким образом, источник силы можно характеризовать создаваемой силой и воспринимаемой силой (рис. 12), . Воспринимаемая сила положительна при сжимающих воспринимаемых силах полюсов (рис. 12, а) и отрицательна при растягивающих силах (рис. 12, б). Знаки создаваемых сил противоположны. При изображении механической цепи можно пользоваться создаваемыми силами. При составлении графа цепи и написании динамических уравнений во избежание ошибок следует использовать воспринимаемые силы. Таким образом, силовой переменной двухполюсника является воспринимаемая сила Кинематические переменные источника силы — относительные

перемещение скорость или ускорение а полюсов — в общем случае не ассоциированы по знаку с переменной так как соотношения между векторами при наличии в цепи нескольких источников произвольны. Однако для удобства написания уравнений и исследования цепей источнику силы тоже придают ассоциированное направление, а истинное соотношение знаков переменных двухполюсника автоматически выявляется из уравнений сил и кинематических переменных цепи. Для источников сил переменные являются известными функциями времени. Если ассоциированное направление источника одинаково с направлением оси то при совладении направления вектора и ассоциированного направления к полюсам источника приложены сжимающие воспринимаемые силы, а при несовпадении — растягивающие. На рис. 12 показан граф источника силы с выбранным ассоциированным направлением

Рис. 12. Источник силы и его граф с выбранным ассоциированным направлением а — воспринимаемая источником сила

Рис. 13. Источник кинематической величины и его граф с выбранным ассоциированным направлением

Источники кинематических величин. Источник кинематической величины (перемещения, скорости, ускорения) есть идеальный механический элемент с бесконечным внутренним сопротивлением, который задает определенное относительное движение полюсов при произвольных, определяемых свойствами возбуждаемой системы силах в полюсах (рис. 13). Для источника кинематической величины известен вектор относительного перемещения полюсов [см. уравнение (6)]. В зависимости от вида кинематической величины, используемой в конкретной решаемой задаче, различают источники перемещения скорости или ускорения а. Для сил в полюсах 1 к 2 имеем

где силы, воспринимаемые источником перемещения в полюсах сила, воспринимаемая источником перемещения; У — сила, создаваемая источником перемещения,

Относительное перемещение полюсов (см. стр. 43)

перемещение полюсов в принятой системе отсчета; единичный вектор оси В качестве переменных двухполюсника берем силу и относительное перемещение скорость или ускорение а, в зависимости от решаемой задачи. Кинематические переменные источника в общем случае не ассоциированы с переменной так как при наличии в цепи нескольких источников знаки векторов могут быть различными. Однако для удобства анализа цепей источникам

кинематических величин тоже придают ассоциированное направление, поскольку истинные знаки переменных двухполюсника восстанавливаются с помощью уравнений сил и кинематических переменных цепи.

Кинематические переменные источников считают известными функциями времени. Принятие ассоциированного направления означает, что сначала знаки переденных двухполюсника принимают одинаковыми. На рис. 13 показан граф источника кинематической величины.

Соединения двухполюсников. При исследовании цепей часто приходится рассматривать взаимные соединения элементов, при которых полюсы двухполюсников соединяются в узлы. Особенно это важно при решении задач, в которых рассматри вается движение только нескольких точек или элементов. В этом случае целесообразно упрощать систему, вводя эквивалентные двухполюсные элементы, внутри которых «спрятаны» полюса, не представляющие интереса при исследовании. Суще ствуют два типа соединения элементов — параллельное и последовательное. Двухполюсник, получающийся в результате соединения элементов, называют результирующим или эквивалентным.

Рис. 14. Параллельное соединение двухполкнников 1,2, 3, 4 и его граф

Рис. 15. Последовательное соединение двухполюсников и его граф

При параллельном соединении двухполюсников их полюсы объединяются в Два узла (рис. 14), и у результирующего двухполюсника воспринимаемая сила равна сумме воспринимаемых сил отдельных двухполюсников:

а относительные перемещение скорость и ускорение а полюсов такие же, как и у всех двухполюсников:

На рис. 14 показан граф параллельного соединения двухполюсников. При последовательном соединении двухполюсников их полюсы соединяются так, что каждый узел принадлежит только двум двухполюсникам (рис. 15). У результирующего двухполюсника воспринимаемая сила равна воспринимаемым силам отдельных двухполюсников;

а кинематические векторы равны сумме кинематических векторов отдельных двухполюсников:

На рис. 15 показан граф последовательного соединения двухполюсников с выбранными ассоциированными направлениями.

Звенья механических цепей. Соединения пассивных двухполюсников, в том числе последовательно-параллельные и не последовательно-параллельные

(мостовые), образуют пассивные звенья механических цепей. В пассивных звеньях возможны произвольные соединения элементов. Соединения активных двухполюсников образуют активные звенья цепи. При соединении активных двухполюсников в звенья необходимо помнить, что источники сил не должны включаться параллельно с источниками кинематических величин; источники произвольных сил можно соединять параллельно, но нельзя соединять последовательно, источники произвольно заданных кинематических величии можно соединять последовательно, но нельзя соединять параллельно.