5. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ЛИНЕЙНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Изложенные законы являются основными из применимых к линейным механическим цепям, состоящим из активных и пассивных двухполюсников с постоянными сосредоточенными параметрами, т. е. двухполюсников, параметры которых не зависят от силовых и кинематических переменных.

Закон сил (правило узлов). Сумма всех сил, действующих на любой узел цепи, равна нулю. В терминах воспринимаемых сил двухполюсников этот закон читается так: для любого узла сумма воспринимаемых сил по одну сторону от узла равна сумме воспринимаемых сил по другую сторону от узла. Поэтому для любого узла сумма воспринимаемых сил принадлежащих ему двухполюсников, взятая с учетом расположения последних относительно узла, равна нулю (рис. 16):

Рис. 16. Цепь из четырех двухполюсников с общим узлом и ее граф

Причем если находится по одну сторону от узла, и если находится по другую сторону узла. Так, для узла цепи, показанной на рис. 16, имеем

Такой же результат получаем из графа цепи, если двухполюсникам слева и справа от узла задавать одинаковые ассоциированные направления, а коэффициенты находить из условия: если стрелка направлена от узла, и если стрелка направлена к узлу. Отсюда следует правило: для получения непротиворечивой системы уравнений из графа цепи ассоциированные направления двухполюсников должны быть выбраны одинаковыми.

Закон сил является следствием третьего закона Ньютона о равенстве действия и противодействия.

Закон относительного движения (правило контуров). Сумма относительных перемещений узлов цепи на любом замкнутом контуре, образованном соединением двухполюсников, равна нулю. Сумма кинематических векторов следовательно, и кинематических переменных двухполюсников на любом замкнутом контуре цепи, взятая с учетом расположения двухполюсников в контуре, равна нулю (рис. 17):

причем если при обходе по контуру двухполюсник проходят в направлении (против) оси если двухполюсник проходят против (в направлении) оси

Так, для контура, изображенного на рис. 17, имеем

что следует и из графа цепи, если ассоциированные направления элементов заданы одинаковыми, т. е. в соответствии с указанным выше правилом. Сформулированные выше два закона называют также законами Кирхгофа [21]. (Эти законы справедливы как для линейных, так и для нелинейных систем). Уравнение (41) называют узловым, контурным.

Рис. 17, Цепь из четырех двухполюсников образующих коитур, и ее граф

Рис. 18. Эквивалентные схемы неидеальных источников: а — источник силы; источник кинематической величины полюсы источника; пассивный двухполюсник)

Принцип суперпозиции. Для механической цепи, состоящей из линейных двухполюсников и имеющей несколько источников сил или кинематических величин, результат воздействия всех источников может быть получен как сумма результатов воздействия каждого из источников в отдельности, при этом остальные источники должны быть заменены двухполюсниками, имеющими динамические параметры заменяемых источников. Прямые динамические параметры идеального источника силы равны нулю, а обратные — бесконечности. У идеального источника кинематической величины прямые динамические параметры равны бесконечности, а обратные — нулю. В силу конечной отдаваемой мощности реальных источников значения динамических параметров лежат между указанными предельными. Реальный источник силы при отсутствии создаваемой им силы может оказывать сопротивление Движению, поэтому его изображают в виде параллельного соединения идеального источника силы и некоторого пассивного двухполюсника (рис. 18, а). Реальный источник кинематической величины при отсутствии создаваемого им движения может Допускать относительное перемещение полюсов, поэтому его изображают в виде последовательного соединения идеального источника и некоторого пассивного двухполюсника с конечными динамическими параметрами (рис. 18, б).

Принцип взаимности. Если в линейной механической цепи, состоящей из взаимных элементов, между узлами a и b действует источник силы при этом кинематическая величина между узлами равна то при приложении того Же источника силы между узлами та же кинематическая величина будет между узлами a и b. Принцип взаимности может быть аналогично сформулирован Для источника кинематической величины и создаваемых им сил.

Принцип взаимности формулируется для линейных систем, состоящих из взаимных элементов, которые одинаково передают воздействия в обоих направлениях.

Теорема Тезенина : «Если механическая цепь, состоящая из взаимных двухполюсников и содержащая некоторые источники, присоединиетси к

нагружающему двухполюснику (нагрузке), то эта механическая цепь можег быть представлена единым эквивалентным идеальным источником силы в параллель с пассивным двухполюсником, имеющим динамический параметр которые и присоединяются к нагрузке». Следовательно, механическая цепь заменяется эквивалентным источником силы с внутренним динамическим параметром Параметры эквивалентной цепи Тевенина можно найти следующим образом. Если узлы цепи, к которым присоединяется нагрузка, соединить бесконечно жестким элементом, то воспринимаемая им сила будет равна Если эти узлы освободить от нагрузки, то их относительное движение будет характеризовать свободная кинематическая переменная Параметр О,- определяется отношением На практике комплексный параметр может быть измерен на частоте когда внутренние источники не поставляют энергии в цепь. Если динамические параметры элементов цепи известны, можно определить аналитически.

Теорема Нортона [12, 16, 21]: «Если механическая цепь, состоящая из взаимных двухполюсников и содержащая некоторые источники, присоединяется к двухполюсной нагрузке, то эта механическая цепь может быть представлена единым эквивалентным идеальным источником кинематической величины соединенным последовательно с пассивным двухполюсником, имеющим динамический параметр Эта последовательная эквивалентная цепь присоединяется к нагрузке. Величины те же, о которых говорилось ранее. Когда известны, Следует иметь в виду, что при экспериментальном определении параметров эквивалентного источника на некоторой частоте для тяжелых конструкций удобнее измерять свободную кинематическую величину, а не силу между взаимно заторможенными узлами. Теоремы Тевенина и Нортона дают также правило перехода от неидеального источника силы к неидеальному источнику кинематической величины, и наоборот. Они легко обобщаются на произвольные линейные системы (см. разд. 10).