3. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕПРЕРЫВНЫХ ПРОЦЕССОВ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

При статистической обработке непрерывных процессов основным объектом является единственная выборочная функция времени (в виде электрического сиг. нала или записи), которую в дальнейшем в соответствии с терминологией, приня. той в теории случайных процессов, будем называть реализацией. Статистические характеристики представляют собой или скалярные величины (функционалы) иди функции (обычно интегральные преобразования, определяемые непосредственно по реализации или по ее спектру). Для процессов некоторые характеристики являются аналогами рассмотренных в предыдущем разделе выборочных характеристик совокупностей дискретных данных. Для реализации заданной на интервале основными являются следующие группы статистических характеристик.

Средние или осредненные значения. Среднее значение по всему интервалу аналогичное среднему арифметическому (1),

Наряду с этим используют осреднение по отрезкам интервала или сглаживание:

при котором осреднение по времени является неравномерным. Свойства результата сглаживания — функции определяются выбором весовой функции сглаживание вместо осреднения широко используется в схемах статистических анализаторов (см. гл. X).

Коэффициенты аппроксимаций. Анализируемая реализация представляется в виде аппроксимирующего выражения — функции [19]. Искомыми статистическими характеристиками являются коэффициенты определяемые из условия наилучшего приближения, в частности, равномерного

Если коэффициенты входят линейно:

то при этом для коэффициентов получается система линейных уравнений, результат решения которой может быть представлен в виде

Весовые функции получаются из решения системы уравнений [14]. Такого рода преобразования используют при определении параметров импульсных сигналов, при выделении периодических составляющих и тренда, а также при определении коэффициентов разложения отрезка реализации в ряд по выбранной системе функций.

Оценка рассеяния. Основной характеристикой рассеяния является выборочная дисперсия, т. е. средний квадрат отклонения от среднего, от результата сглаживания или от результата аппроксимации. При этом, как и среднее значение, средний

квадрат может определяться равномерным осреднением по всему интервалу:

или сглаживанием:

Самостоятельными статистическими характеристиками являются максимальное и минимальное значение на интервале

Характеристикой рассеяния является вариация

Оценки распределения. Выборочная функция распределения значений, которая характеризует относительное время пребывания реализации ниже заданного уровня и, определяется как интегральное преобразование

Если первым этапом статистической обработки реализации является выделение из реализации аппроксимирующей функции то обычно представляет интерес определение статистической функции распределения не процесса а разности

которая рассматривается как случайная погрешность.

Характеристики экстремальных значений. Для реализации определяются отдельно ординаты локальных минимумов и ординаты локальных максимумов. Для двух полученных последовательностей могут рассчитываться все статистические характеристики, как для обычных последовательностей дискретных данных (см. раздел 2). При аппроксимации процесса функцией те же характеристики строят для последовательностей минимумов и максимумов случайной погрешности (22).

Характеристика выбросов. Для описания свойств выбросов (пересечений процессом уровней) используют характеристики импульсных процессов, в частности число выбросов за уровень и на интервале среднее значение интервала между выбросами, среднюю длительность импульсов. Все эти характеристики — функции уровня и.

Характеристики взаимосвязи значений. Основной статистической характеристикой взаимосвязи значений одной и той же реализации является выборочная автокорреляционная функция, которая представляет собой нелинейное интегральное преобразование

Нормированная автокорреляционная функция определяет среднюю степень линейной взаимосвязи отклонений процесса от среднего для сечений, сдвинутых друг относительно друга на время Убывание функции от начального значения характеризует дисперсию производной: чем больше дисперсия производной, тем быстрей убывает автокорреляционная функция. Поведение функции при увеличении для незатухающих

реализаций колебательного характера определяется степенью регулярности. Если реализация периодическая или полигармоническая со строго постоянными частотами, то автокорреляционная функция не затухает и также является периодической или полигармонической (но с измененными соотношениями амплитуд и фаз составлявщих). Всякого рода проявления нерегулярности (в частности, эффект «набегали фаз составляющих) приводят к тому, что автокорреляционная функция затухает Значение начиная с которого можно условно считать вают интервалом корреляции; при сдвиге во времени значения ординат практически линейно не связаны (в частности, при фиксированном для возможен любой знак).

Основной статистической характеристикой взаимосвязи значений двух реализаций является выборочная взаимно-корреляционная функция

Нормированная взаимно-корреляционная функция определяет среднюю степень линейной взаимосвязи отклонений от среднего для реализаций, сдвинутых на интервал Если реализации относятся различным физическим процессам, то между отклонениями реализаций от средних связь отсутствует, и взаимно-корреляционная функция колеблется около нуля. В частности, это имеет место в тех случаях, когда реализации и полигармонические, но частоты составляющих различны. Когда реализации и имеют составляющие высокого уровня, происходящие от одних и тех же исходных причин, взаимно-корреляционная функция по крайней мере в некотором диапазоне изменения аргумента существенно отлична от нуля.

Во многих задачах особый интерес представляет наибольший по модулю экст ремум взаимно-корреляционной функции. Если уровень эксфемума достаточно высок, то из этого следует, что реализации в среднем сильно взаимосвязаны, соответствующее значение аргумента представляет собой среднее время взаимного запаздывания соответствующих составляющих реализаций. Статистическую корреляционную функцию часто сглаживают. Если аппаратура дает дискретные значения корреляционной функции, то операцию сглаживания совмещают с интерполяцией. Иногда функции сглаживания осуществляет процедура аналитической аппроксимации.

Спектральные характеристики. Комплексный спектр реализации заданной на интервале определяется выражением

Комплексный спектр не может рассматриваться как статистическая характеристика, поскольку спектр сохраняет всю информацию о реализации, и реализацию можно получить обратным преобразованием Фурье [см. гл. II, уравнение (7)]. Вместо комплексного спектра используют выборочную спектральную плотность (периодограмму) [5]

которую называют также спектром мощности и менее удачно энергетическим спектром реализации.

По теореме Персеваля

Таким образом, оказываются связанными две различные характеристики: гоедний квадрат (статистическая или выборочная дисперсия при нулевом среднем значении) и статистическая спектральная плотность. По функции не может быть восстановлена реализация, поскольку теряется информация о фазах элементарных составляющих, однако функция полностью сохраняет «тонкую структуру», свойственную вещественной и мнимой частям комплексного спектра. Поэтому статистические характеристики, использующие частотную форму представления сигнала, определяются только как результаты преобразования функции

Основной статистической характеристикой является сглаженная статистическая спектральная плотность [5]

Результаты сглаживания определяются весовой функцией Если аппаратура дает дискретные значения спектральной плотности, то сглаживание может осуществляться дискретно или совмещаться с интерполяцией. Когда реализация имеет видимую однородность во времени, структура функции существенно неоднородна, средняя частота колебаний (по аргументу возрастает при уменьшении Поэтому интервал сглаживания целесообразно уменьшать с уменьшением частоты что обычно и реализуется при спектральном анализе (см. гл. X).

Для частотного описания двух реализаций и заданных на интервале основной статистической характеристикой является выборочная взаимная спектральная плотность

которая выражается через комплексный спектр реализации и сопряженный комплексный спектр реализации Как и спектральные плотности каждого из сигналов, взаимную спектральную плотность (28) необходимо сглаживать.

При аппаратурном определении дисперсии распределения, корреляционной функции и спектральной плотности часто вместо осреднения по всему интервалу используется сглаживание; зависимости этих характеристик от времени часто несут ценную информацию. Все перечисленные статистические характеристики могут определяться не только для реализации, но и для ее производных, а также результатов других преобразований. Отметим, что во всех рассмотренных способах расчета статистических характеристик не использовались какие-либо гипотезы относительно их аналитического вида.

Формулы для определения выборочных характеристик последовательностей приведены в томе I на стр. 296—299, однако получаемые статистические характеристики авторы рассматривают только как оценки соответствующих вероятностных характеристик.