2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Любая механическая система характеризуется входными и выходными переменными, параметрами и характеристиками и некоторыми математическими уравнениями, связывающими их между собой.

Входные и выходные переменные — это конкретные физические величины: силы, моменты сил, перемещения, скорости, электрические токи, напряжения и др. Входные и выходные переменные часто называют входными и выходными сигналами, а иногда (общим термином) координатами системы, хотя, вообще говоря, координатами системы могут быть любые физические и абстрактные величины, не имеющие ясного физического смысла. Выходными переменными называют те переменные системы, которые являются результатом воздействия входных переменных, и, может быть, некотор других неучитываемых воздействий.

Воздействия, нарушающие работу рассматриваемой системы, называют помехами, Помехи могут быть внутренними и внешними, контролируемыми и неконтролируемыми. Ошибки измерения переменных систем также относят к помехам,

"Параметрами системы называют некоторые физические и математические величины, характеризующие свойства системы. Параметрами считают коэффициенты усиления, постоянные времени, временное запаздывание, коэффициенты дифференциальных и разностных уравнений и т. д.

В математическом моделировании механических систем большую роль играют характеристики, определяющие взаимные зависимости параметров, входных и выходных переменных системы. К таким зависимостям относят нелинейные статические характеристики, импульсные переходные (весовые) функции, амплитудно-фазовые частотные характеристики т. п.

Механическая система, имеющая только одну входную и выходную переменную, называется одномерной. Когда число входных или выходных переменных превышает единицу, система называется многомерной. Однако одну и ту же систему в зависимости от решаемых ею задач, от числа учитываемых переменных или от вида принимаемой математической модели, можно рассматривать как одномерную либо как многомерную. Для одномерных систем входные и выходные переменные являются скалярами, для многомерных — векторами.

Непрерывные линейные модели. В одномерном случае нестационарные линейные дифференциальные операторы

приводят к модели, описываемой линейным дифференциальным уравнением

где некоторые функции времени, которые в задачах идентификации неизвестны и подлежат определению. Неизвестными могут быть также порядки и начальные условия Для входов и выходов модель имеет вид

где вектор — строки размерности

— полиномиальные матрицы размерностей соответственно Для стационарных линейных систем операторы (48), (51) и (52) не зависят от времени и вместо неизвестных функций необходимо определить постоянные числовые параметры, что значительно упрощает задачу идентификации.

Линейную нестационарную систему можно описать с помощью нестационарного интегрального оператора

где неизвестная и подлежащая оцениванию импульсная переходная (весовая) функция. Для физически возможной системы

Еслн система имеет входов и выходов, импульсная переходная функция является матричной функцией. Для стационарной системы Поэтому интегральный оператор

Состояние нестационарной линейной системы можно описать математической моделью

где матричная функция размера матричная функция размера -мерная векторная функция; -мерный вектор состояния; Для стационарных линейных систем матрицы и вектор не зависят от времени.

Любое линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами может быть представлено в канонической форме:

где вектор состояния,

Дискретные линейные модели. Все указанные выше модели непрерывных систем можно представить дискретными моделями, в некотором смысле эквивалентными непрерывным. Критерием эквивалентности дискретной аппроксимации непрерывных процессов может быть равенство значений непрерывного и дискретного процессов в дискретные моменты времени совпадение значений корреляционных функций непрерывного и дискретного процессов в моменты времени и др. В задачах идентификации систем для дискретной аппроксимации непрерывных моделей можно использовать бесконечное множество дискретных моделей, эквивалентных в том смысле, что при любая дискретная модель из этого множества переходит в исходную непрерывную модель. Для дискретной аппроксимации непрерывных моделей обычно используют следующие наиболее простые соотношения:

где - оператор сдвига назад на тактов, т. е. В случае необходимости можно использовать более сложные операторы дискретного дифференцирования и интегрирования, которые обеспечивают более высокую точность 117, 191.

Дискретная модель одномерной нестационарной линейной динамической системы Имеет следующий общий вид

где

— полиномы от оператора сдвига назад коэффициенты которых являются некоторыми функциями дискретного времени Если дискретная модель строится для непрерывной системы, то при фиксированном шаге дискретизации коэффициенты полиномов (65) являются некоторыми функциями от параметров непрерывной системы. Конкретный вид функциональной зависимости определяется способом дискретизации уравнения (49).

Многомерную дискретную модель нестационарной динамической системы можно представить в следующем виде:

где В матрицы размерностей элементами

— символ Кронекера. В случае стационарных систем коэффициенты полиномов (65) и (67) не зависят от дискретного времени k.

Дискретным аналогом интегрального оператора (53) является уравнение

которое для стационарных систем принимает вид

где дискретные весовые функции.

Уравнение состояния дискретной нестационарной системы

где соответствующие матрицы; вектор-строка. Для стационарных систем эти величины не зависят от дискретного времени

Нелинейные математические модели. При идентификации нелинейных механических систем в качестве математических Моделей используются различные нелинейные математические операторы и нелинейные дифференциальные, интегральные и разностные уравнения. Наиболее часто применяют приведенные ниже нелинейные модели [10, 20].

Математическая модель нелинейной динамической системы имеет вид нормальной системы дифференциальных уравнений:

где векторная переменная состояния системы;

— нелинейная векторная функция; входная переменная; скалярная функция, связывающая вектор состояния с физической выходной

переменной системы оцениваемый векторный параметр.

Оператором Гаммерштейна

описывается система, которая получается последовательным соединением безынерционного нелинейного звена с характеристикой и линейной динамической части, характеризуемой импульсной переходной функцией или дифференциальным уравнением. В последнем случае вместо (73) используют

Нелинейный оператор Винера имеет следующий вид:

где непрерывная относительно аргумента и функция, которая может зависеть от времени В дифференциальной форме оператор Винера записывается в следующем виде:

Систему, описываемую оператором Винера, можно представить как последовательное соединение линейной динамической части и нелинейной статической части.

Наиболее общим нелинейным оператором является функциональный ряд Вольтер а [35]

где непрерывные относительно функции.

Дискретные модели нелинейных систем получают, как и модели линейных динамических систем.

Примеры математических моделей. 1 Вынужденные колебания линейной механической системы с одной степенью свободы описываются дифференциальным уравнением

где свободная масса; обобщенный коэффициент вязкого трения; с — жесткость пружины; — возмущающая сила.

Уравнение (78) часто приводят к следующему виду

или

где - коэффициент затухания; — частота собственных колебаний системы при отсутствии трения; -постоянная времени системы; — относительный коэффициент затухания; коэффициент усиления.

2. В случае, когда возмущающая сила действует на свободную массу через безынерционный нелинейный элемент, вынужденные колебания механической системы с одной степенью свободы описываются моделью Гаммерштейна

характеристика нелинейного элемента.

3. Система подвесьи экипажа в первом приближении может быть рассмотрена как колебательная система с одной степенью свободы Вынужденные колебания описываются следующей моделью Гаммерштейна

где — вертикальные колебания экипажа; функция профиля поверхности дороги, функция пути

4. В некоторых механических системах рассматриваемая выходная величина у является некоторой функцией от перемещения и свободной массы Такого вида системы с одной степенью свободы описываются нелинейной моделью Вннера:

В качестве нелинейного элемента может быть, например, безынерционный датчик перемещения и с нелинейной характеристикой