4. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ ТОЧКИ

Измерение характеристик движения материальной точки является одной из основных задач при исследовании механических колебаний. При описании движения точки используют ряд кинематических величин радиус-вектор или координаты текущего положения, перемещение, скорость, ускорение точки и др.

Задание движения точки. Пусть имеются основная и подвижная системы отсчета [17] (рис. 12) В общем случае система отсчета (тело) при движении вращается относительно системы с угловой скоростью (см. раздел 5). Движение материальной точки по отношению к основной системе отсчета называют абсолютным, а по отношению к подвижной системе отсчета относительным. Движение системы по отношению к системе называют переносным. При движении материальной точки ее положение относительно системы в любой момент времени полностью характеризует радиус-вектор являющийся функцией времени, конец которого описывает в пространстве кривую называемую траекторией точки. Сложное движение точки описывают одновременно в основной и подвижной системах отсчета [17]. Так, положение точки может быть задано через текущие полюса системы и радиус-вектор точки относительно системы

Перемещение точки. Перемещение точки есть кинематическая векторная величина, характеризующая изменение положения точки относительно некоторого исходного. Начало и конец вектора лежат на траектории.

В основной системе отсчета перемещение точки относительно исходного положения равно (см. рис. 12)

При сложном движении точки ее абсолютное перемещение (относительно системы может быть представлено суммой абсолютного перемещения полюса и абсолютного перемещения точки, заданного с помощью системы отсчета (см. рис. 12):

Скорость точки — это мера движения точки, равная производной по времени от радиус-вектора этой точки в рассматриваемой системе отсчета

Рис. 12. Схема задания движения точки в основной и подвижной системах отсчета

Примечание. Под радиус-вектором точки понимают вектор, проведенный от некоторой точки, неизменно связанной с рассматриваемой системой отсчета, до движущейся точки [17].

В силу равенств (74) и (75) скорость точки можно также определить как кинематическую величину, равную производной по времени от перемещения этой точки в рассматриваемой системе координат. В основной системе отсчета скорость точки

Выражение для абсолютной скорости точки в сложном движении с учетом равенств [9, 15]

получим из уравнения (73):

где абсолютная скорость полюса относительная скорость точки в системе

и переносная скорость точки:

В выражениях (78) и (79) через обозначена относительная, или локальная, производная вектора в системе т. е. взятая в предположении, что орты неподвижны.

Из уравнения (78) следует выражение, связывающее абсолютную и относительную производные некоторого вектора В, заданного проекциями в подвижной системе отсчета

Обозначив вектор через уравнение (81) можно записать в проекциях векторов:

Пример. Найти компоненты скорости точки по координатным линиям в цилиндрических и сферических координатах (рис. 3 и 4).

Решение. Скорость точки относительно подвижной системы отсчета получим в результате ференцирования по времени уравнений (17) и (20) с учетом соотношений (16) и

В цилиндрических координатах

т. е. В сферических коордииатах

и, следовательно,

Ускорение точки. Ускорение точки есть мера изменения скорости точки, равная производной по времени от скорости этой точки в рассматриваемой системе отсчета [17]. В основной системе отсчета ускорение точки (рис. 12)

Выражение для абсолютного ускорения точки в сложном движении получают дифференцированием по времени равенства (78) с учетом соотношения (81):

где абсолютное ускорение полюса; угловое ускорение системы относительно соответственно переносное, относительное и кориолисово (добавочное) ускорения:

Пример. Найти компоненты ускорения точки по координатным линиям в цилиндрических и сферических координатах (см рис. 3 и 4).

Решение. Ускорение точки относительно подвижной системы отсчета получим в результате дифференцирования по времени уравнений (83) и (84) с учетом соотношений (16)

В цилиндрических координатах

В сферических координатах

Резкость точки j есть мера изменения ускорения точки, равная производной по времени от ускорения этой точки в рассматриваемой системе отсчета. В основной системе отсчета резкость точки (см. рис 12)

В связи с тем, что движущаяся точка перемещается в пространстве по некоторой линии, перемещение, скорость и ускорение точки часто называют линейными.

Перемещения, скорости и ускорения, проекции которых являются колеблющимися величинами, называют виброперемещением, виброскоростью и виброускорением и обозначают часто через соответственно.

Примечание. При описании движения точек основную систему отсчета принимают за инерциагьную, т. е. систему отсчета, по отношению к которой изолированная материальная точка находится в покое или движется прямолинейно и равномерно [17]. Для задач исслеч Дования вибрации звуковых частот система отсчета, связанная с поверхностью Земли, как правило, может быть принята за инерциальную.