4. ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛЕЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Оценивание параметров моделей Гаммерштейна с весовыми функциями. Связь между входным и выходным сигналами описывается интегральным оператором

Весовая функция и нелинейная характеристика безынерционной части разлагаются в ряд по линейно-независимым функциям:

где неизвестные числовые коэффициенты разложения, соответствующие вектор-строки размерности вектор-строки

размерности Подстановка (118) и (119) в (117) приводит к уравнению

где матрица размерности с элементами

При наблюдениях выхода системы с аддитивной стационарной помехой типа белого шума

оценивание параметров модели (120) по методу наименьших квадратов состоит в минимизации функции вида (97). Покомпонентная минимизация по аргументам на 1-й этапе поиска приводит к уравнениям:

где

— квадратичные матрицы порядка соответственно,

— вектор-столбцы размерностей соответственно.

Оценки параметров вычисляются с точностью до неизвестных множителей где любое ненулевое число [14]. Для устранения этой неоднозначности принимается, что коэффициент усиления линейной динамической части является единичным. Тогда нелинейная характеристика представляет общий нелинейный коэффициент усиления системы, оценками параметров модели (120) являются величины

номер итерации, при которой алгоритм (123) сходится с требуемой точностью.

Априорную информацию о параметрах удобно представить в виде средних (номинальных) значений и ковариационных матриц характеризующих допустимый разброс параметров. Тогда применение критерия типа (17) приводит к уравнениям вида (123), если в указанных выражениях соответствующие матрицы и векторы заменить следующими:

Из уравнений (127), (128) следует, что с помощью априорной информации регуляризуется задача оценивания параметров. С другими методами оценивания можно ознакомиться в работах [4, 29].

Когда наблюдения за входом и выходом систем проводят в дискретные моменты времени или непрерывные записи дискретизируются в связи с применением ЭЦВМ, интегральное уравнение (117) заменяют дискретным аналогом

Числовая последовательность называется дискретнон весовой функцией или весовыми коэффициентами. Так как для устойчивых динамических систем при при идентификации ограничиваются конечным числом весовых коэффициентов. Тогда с учетом (119) получается дискретная параметрическая модель

где матрица размерности с элементами

Применение метода наименьших квадратов для оценивания параметров дискретной модели (130) и покомпонентная минимизация критерия приводят к уравнениям типа (123) со следующими матрицами и векторами:

Сопоставление (124), (125) с (132) и (133) показывает, что разница при их вычислении заключается только в замене операции интегрирования операцией суммирования для соответствующих дискретных величин. Имея это в виду, нетрудно получить все остальные выражения, приведенные для случая непрерывной модели. Более подробно с этими вопросами можно познакомиться в работах [13, 14].

Оценивание параметров модели Гаммерштейна в виде дифференциального уравнения. Выходной сигнал

где

— полиномы от оператора дифференцирования

— числовые неизвестные коэффициенты. Подстановка (119) в (134) приводит к параметрической модели

с неизвестными векторными параметрами

В случае наблюдений вида (122) оценивание по методу наименьших квадратов связано с минимизацией функции

в допустимой области С, которая в данном случае является областью устойчивости передаточной функции линейной части модели. Для этой цели удобным оказывается принцип покомпонентной минимизации по параметрам При фиксированных на этапе поиска параметрах линейной части функция (137) является квадратической формой относительно параметров нелинейной части что приводит к уравнению

где

— квадратичная матрица порядка ;

— вектор-столбец размерности -я координата градиента функции (136) определяется в соответствии с дифференциальным уравнением

имеющим нулевые начальные условия.

При фиксированных параметрах нелинейной части функция (137) не является квадратичной формой относительно параметров с линейной части, поэтому необходимо применить численные методы оптимизации (28). Градиент функции (137) по параметрам с линейной части вычисляют, как в случае оценивания параметров линейных дифференциальных уравнений. При этом в соответствующих уравнениях (99) и (100) вместо входного сигнала используют сигнал где оценка характеристики нелинейного элемента на 1-й этапе поиска, которая получается подстановкой в (119).

Оценивание параметров модели Гаммерштейна в виде разностного уравнения. Выходную последовательность представляют в следующем виде;

где

— полиномы от оператора сдвига на одии такт назад. Подстановка (119) в (142) приводит к параметрической модели вида

Применение принципа покомпонентной минимизации критерия наименьших квадратов типа (8) по аргументам приводит к уравнениям вида (138) и (28). При этом

Составляющие градиента по параметрам с вычисляют по уравнениям, аналогичным (104) и (105) с использованием сигнала Начальные условия Для разностного уравнения (147) являются нулевыми.

Для восстановления отдельных оценок параметров нелинейного элемента и параметров разностного уравнения используют требование относительно единичного коэффициента усиления линейной части модели. Это осуществляют в соответствии с уравнениями (136), вычисляя по формуле

Более подробно с вопросами построения дискретных моделей данного типа можно ознакомиться в работах [13, 16, 47].

Оценивание параметров модели Винера с весовыми функциями. Связь между входным и выходным сигналами представляют в следующем виде:

После разложения весовой функции в ряд вида (118), а в ряд (119), получается следующий параметрический оператор:

На основе принципа покомпонентной минимизации квадратического критерия на этапе поиска получается уравнение вида (138) для параметров с использованием в нем величии:

Для вычисления параметров весовой функции применяют алгоритм (28), а градиент представляют в следующем виде:

Указанный алгоритм позволяет найти оценки параметров только с точностью до определенных множителей. Для восстановления отдельных оценок параметров следует ввести дополнительное требование относительно единичного коэф фициента лииейиой части модели и соответствующим образом нормировать вычисленные оценки [7].

Когда используют дискретные наблюдения, выходная последовательность представляется в виде

Параметризация оператора (155) производится аналогично случаю модели Гаммерштейна, что приводит к уравнениям:

Тогда покомпонентное оценивание параметров с использованием метода наименьших квадратов приводит к вычислениям по уравнениям типа (138) и (28). При этом

Оценивание параметров модели Винера в виде дифференциального уравнения. Выходной сигнал представляют в следующем виде:

Подстановка (119) в (161) приводит к уравнению

Покомпонентное оценивание параметров в соответствии с методом наименьших квадратов приводит к уравнениям типа (138) и (28) с использованием в них величин

Дифференциальные уравнения для производных с переменной имеют структуру (99), (100).

Оценивание параметров модели Винера в виде разностного уравнения, выходную последовательность представляют в следующем виде:

что после параметризации приводит к оператору

В данном случае покомпонентное оценивание параметров связано с использованием уравнений вида (138), (28). При этом

Разностные уравнения для производных переменной имеют структуру (104), (105). С результатами исследования описанных алгоритмов можно ознакомиться в работах [7, 45].

Связь модели Винера с рядом Вольтерра. Если в разложении вида (119) линейно-независимые функции являются степенным полиномом, т. е. уравнение (149) можно представить в виде

Если обозначить

то уравнение (173) примет вид

Оно соответствует ряду Вольтерра (77). Следовательно, если в модели Винера нелинейная характеристика может быть представлена через степенные полиномы, то данная модель эквивалентна ряду Вольтерра, когда его ядра имеют вид (174). В связи с этим приведенные алгоритмы для построения модели Винера можно отнести к алгоритмам оценивания параметров нелинейных динамических моделей в виде ряда Вольтерра.

Дисперсионное уравнение идентификации. В некоторых случаях может появиться желание описать нелинейную динамическую систему линейной моделью. Тогда для стационарных систем используют следующее уравнение [28]:

где так называемые автодисперсионная и взаимная дисперсионная функции стационарных случайных функций и Весовая функция определенная по уравнению (176), соответствует связи не между сигналами а между их сглаженными характеристиками условными математическими ожиданиями:

где условное математическое ожидание выходной переменной у в момент времени относительно входной переменной х в момент времени условное математическое ожидание входной переменной х в момент времени относительно х в момент времени Модель (177) можно рассматривать как линейную в среднем.