2. ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ ДАТЧИКИ КИНЕМАТИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН С НЕСКОЛЬКИМИ НАПРАВЛЕННЫМИ ИНЕРЦИОННЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ

Уравнения движения измерительной системы датчика. Сначала целесообразно рассмотреть работу датчика, подвижная система которого имеет несколько инерционных элементов (ИЭ) [5].

На рис. 1 показана схема датчика, имеющего два ИЭ, массы которых . С корпусом датчика связаны две правые прямоугольные системы координат: есть назначаемая измерительная ось датчика, т. е. ось, определяемая кон струкцией датчика. Вдоль этой оси направ лены измеряемый компонент векторной величины и вектор основной чувствительности датчика. Направленные свойства датчика определяются тем, что инерционные элементы на упругом подвесе могут совершать только поступательные перемещения вдоль оси

Рис. 1. Упругоинерционная измерительная система прямолинейного датчика с двумя направленными инерционными элементами

Рис. 2. Схема задания положения произвольной точки относительно центра Земли А и относительно начала системы координат, расположенной на поверхности Земли ось вращения Земли

Пусть ось не совпадает с измерительной осью что вызвано дефектом изготовления датчика Такие датчики могут быть использованы для измерения низкочастотной вибрации, хотя в рассматриваемом случае они представляют больше теоретический интерес.

При отсутствии внешних сил точки 1 и 2, положение которых неизменно относительно корпуса датчика, совпадают с точками 3 и 4 центров масс инерционных элементов (положение ИЭ на рис. 1). В общем случае центры масс могут не лежать на оси Предполагается, что датчик установлен на некотором теле и трехгранник перемещаясь вместе с телом, вращается с абсолютной угловой скоростью

где единичные векторы соответствующих осей.

Пространственное положение указанных выше точек в произвольный момент времени задано радиус-вектором номер точки), проведенным из начала некоторой системы координат, расположенной на поверхности Земли и, следовательно, не являющейся инердиальной.

На рис. 2 показано положение этой системы координат относительно Земли и ее центра, обозначенного точкой А. Приняв центр Земли за точку инерциальной системы отсчета, для указанных радиус-векторов можно записать равенства

где радиус-вектор, проведенный из центра Земли в точку ОПеремещения масс относительно корпуса определяются соотношениями:

Для описания работы датчика выразим кинетическую и потенциальную энергии измерительной системы, а также ее диссипативную функцию через обобщенные координаты и обобщенные скорости и с учетом (2):

где коэффициенты жесткости элементов упругого подвеса; коэффициенты сопротивления; ускорение от действия силы тяготения Земли. (Точкой между векторами здесь и ниже обозначено скалярное произведение векторов.)

Дифференциальные уравнения движения измерительной системы датчика получим из уравнений Лагранжа [1, 8, 13] (см. также том 1, стр. 38):

Первоначально удобно использовать выражение для проекции главного вектора каждой массы на направление оси [7].

В этом случае уравнения движения измерительной системы датчика принимают

где абсолютные ускорения центров масс инерционных элементов; Диссипативные силы, пропорциональные скорости перемещения инерционных элементов относительно корпуса и характеризующие рассеяние энергии в системе; члены вида определяют упругие восстанавливающие силы, действующие на инерционные элементы; кажущиеся ускорения центров масс ИЭ, равные геометрической разности между абсолютным ускорением и ускорением от силы тяготения [7]. Если за основную систему отсчета принять систему, связанную с Землей и находящуюся на ее поверхности, то с учетом равенства (1) уравнения (4) примут вид

где абсолютное ускорение точки Земли, в которой расположено начало координат абсолютные ускорения центров масс инерционных элементов

за вычетом ускорения ускорение свободного падения, равное геометрической разности ускорения от действия силы тяготения и ускорения от вращения Земли см рис. 2. Международным смлашением для принято значение Величины ниже будем называть абсолютными ускорениями центров масс относительно начала принятой системы отсчета (см. раздел 4 гл. 1). Величины есть проекции сил инерции центров масс на ось проекции сил тяжести на ось (На спутнике в условиях невесомости и силы инерции пропорциональны, только абсолютным ускорениям точек относительно системы отсчета, связанной со спутником.)

Работа датчика в режиме акселерометра. Уравнения (5) удобны для описания работы датчика в режиме акселерометра [6] с малым демпфированием, реализуемом при использовании жесткого подвеса и работе в диапазоне частот, расположенном существенно ниже частоты первого резонанса измерительной системы. В этом случае членами можно пренебречь, и уравнения (5) принимают вид

Если выходной сигнал датчика и сделать пропорциональным деформации одного из упругих элементов, например, с жесткостью

то, найдя из уравнения (6) получим уравнение работы датчика

Рис. 3. Схема расположения измеряющих точек и векторов чувствительное датчика относительно его корпуса

Таким образом, в рассматриваемом датчике имеются две «измеряющие точки», в которых приложены вещественные векторы чувствительности к абсолютному ускорению, и эти точки совпадают с центрами масс инерционных элементов. Следова гельно, векторы являются связанными векторами. При большой жесткости элементов упругого подвеса перемещения и незначительны, поэтому с точностью до ускорений на относительных перемещениях уравнение (7) можно заменить другим:

т. е. при этом можно считать, что измеряющими точками датчика являются точки а 2, неизменные относительно корпуса, в которых приложены векторы чувствительности (рис. 3). В данном случае можно указать результирующую измеряющую точку датчика, для которой выполняется условие

где радиус-вектор результирующей измеряющей точки и, в которой приложен результирующий вектор чувствительности

Из сравнения формул (8) и (9) следует, что

или

Отсюда находят положение результирующей измеряющей точки

Это уравненне определяет точку, лежащую на прямой, проходящей через точки и 2. Действительно, если точка и лежит на этой прямой, то в соответствии с рис 3 имеем

откуда следует равенство (10).

На практике измеряющую точку необходимо задавать в систеке координат, связанной с датчиком. Для этого следует сделать замену

после чего уравнение (10) примет вид

Рис. 4. Схема разложения вектора чувствительности к ускорению на компоненты

Если начало координат О совместить с измеряющей точкой и, то из уравнения (11) получим

т. е., расстояния от результирующей измеряющей точки до точек и 2 обратно пропорциональны модулям векторов чувствительности, приложенных в этих точках.

Если бы датчик рассмотренного типа имел I инерционных элементов, то при условии, что

у него аналогично существовала бы единая измеряющая точка

в которой приложен результирующий вектор чувствительности Таким образом, датчик в рассматриваемом режиме является датчиком ускорения точки и.

Результирующий вектор чувствительности может быть представлен составляющими по осям системы координат с ортами (рис. 4):

где основная чувствительность датчика; поперечные чувствительности датчика в направлении осей относительные поперечные чувствительности датчика в направлении осей х и у. Результирующий вектор поперечной чувствительности определяет направление оси максимальной поперечной чувствительности (ось 1—1 на рис. 4), перпендикулярно которой направлена ось нулевой поперечной чувствительности.

Из уравнения (12) следует, что коэффициенты являются коэффициентами влияния компонентов ускорения в измеряющей точке по осям х и у (см. гл. VIII, XII, XIII).

В общем случае точка приложения результирующего вектора чувствительности, фактическая измеряющая точка датчика (точка и на рис. 4), не лежит на измерительной оси

Но у датчиков вибрации точки измеряющая точка должна быть указана по паспорту на измерительной оси. В связи с этим вводят условную измеряющую точку датчика, которую чаще всего и называют измеряющей точкой датчика. Эта точка лежит в основании перпендикуляра, опущенного из фактической измеряющей точки на измерительную ось датчика (точка О на рис. 4) В этой точке в дальнейшем и будем помещать начало координат системы Радиус-вектор проведенный из условной измеряющей точки в фактическую, называют радиусом неточного положения измеряющей точки.

Развернутые уравнения движения измерительной системы. Для исследования работы прямолинейного датчика в общем виде необходимо развернуть уравнения (5) с учетом равенств (2), (3) и соотношений:

В результате уравнения (5) примут вид

Из уравнений (16) видно, что для устойчивой работы датчика необходимо выполнение условий

Следовательно, при наличии угловых колебаний для выполнения условий (17) датчик должен иметь высокие собственные частоты.

Характеристики датчика при измерении поступательной вибрации. Если тело, на котором установлен датчик, совершает поступательные колебания, то в любой момент времени угловая скорость равна нулю ускорения всех точек тела и корпуса датчика одинаковы а проекция ускорения свободного падения на ось неизменна: Применив в этом случае к уравнениям (16) преобразование Лапласа, без учета постоянной составляющей от ускорения силы тяжести получим

Для датчика, выходной сигнал которого и пропорционален, например, перемещению

из уравнений (18) и (20) следует операторная чувствительность к ускорению

Комплексную чувствительность к поступательному ускорению получим, заменив комплексную переменную на Из уравнений (19) и (21) следует, что

где есть вектор операторной чувствительности. По отношению к поступательной гармонической вибрации датчик следует характеризовать комплексным вектором чувствительности который можно рассматривать как пространственную комплексную передаточную функцию, связывающую преобразования Фурье выходного сигнала датчика и и измеряемого ускорения (см, гл. I) выражением

При поступательной вибрации проекции ускорения скорости и перемещения связаны равенствами (см, гл. I, стр, 31):

так что для датчика можно ввести в рассмотрение также векторы чувствительности к скорости и чувствительности к перемещению