8. АНАЛИЗ МЕХАНИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Задачей полного анализа механической цепи является определение всех кинематических величин, характеризующих абсолютное и относительное движение полюсов в принятой системе отсчета (полюсные переменные и переменные двухполюсников), и воспринимаемых элементами цепи сил. При этом ставится задача определения как величины (размера), так и знака искомых величин. Знание знака относительных переменных двухполюсника эквивалентно знанию характера движения полюсов (сближение или удаление) и характера приложенных сил (сжимающие или растягивающие), см. раздел 3. Зная перечисленные выше величины, можно определить другие величины — силы между узлами и функции цепей (коэффициенты передачи сил и кинематических величин, прямых и обратных параметров участков цепи).

В основе анализа механических цепей лежит использование уравнений Кирхгофа для сил (41) и кинематических переменных двухполюсников (42) и уравнений пассивных двухполюсников в прямой (35) или обратной (36) форме. Преимуществом излагаемого ниже способа анализа цепей с использованием ассоциированных направлений двухполюсников, привязанных к выбранной системе отсчета, являет» возможность формализации способов составления и решения уравнений цепей на основе теории графов. С помощью графов цепей легко находят совместные системы независимых уравнений основных контуров и сечений, которые вместе с уравнениями пассивных двухполюсников (35) и (36) и уравнениями связи кинематических переменных цепи образуют основу для анализа механических цепей.

Задачей неполного анализа механической цепи является определение только части переменных и функций цепи. Когда число искомых величин мало, для анализа цепи удобно использовать графы сигналов.

Составление схемы соединений двухполюсников и графа цепи. Для того чтобы схема соединений двухполюсников и граф цепи правильно отражали свойства представляемой ими механической системы, при их составлении необходимо соблюдать следующие правила:

1. В схеме соединений двухполюсников и на графе цепи не должно быть различных узлов и вершин, имеющих одинаковые обозначения. Для этого узлы механической цепи, имеющие тождественно равные кинематические величины, должны быть соединены тождественным элементом, сохраняющим порядок следования узлов вдоль оси принятой для описания движения,

2. Ассоциированные направления всех двухполюсников должны быть выбраны одинаковыми относительно оси Истинные знаки искомых переменных получаются после подстановки в найденные уравнения заданных переменных.

Пример. Провести анализ цепн, изображенной на рис. 27, а. На упругие элементы и 2 действует в данный момент источник 3 растягивающих сил На рис. показана цепь соединений двухполюсников с ассоциированными направлениями. Из графа цепн (рис. 27, в) следуют уравнения

из которых с учетом уравнений двухполюсников

и равенства получаем

Таким образом, обе пружины воспринимают растягивающие силы, а перемещение узла оложнгельно.

Рис. 27. Механическая цепь с параллельным соединением элементов

Пример. Провести анализ цепн, изображенной на рис 28, а. В данный момент на упругие элементы и 2 действует источник 3 растягивающих сил

Рис. 28. Механическая цепь с тождественным элементом, связывающим узлы а и с

На рис. 28, б показана цепь соединений двухполюсников, в которой присутствует тождественный элемент 4, так как Из графа цепи (рис. 28, е) следуют уравнения

из которых с учетом уравнений двухполюсников

и равенств получим

Таким образом, пружина 1 воспринимает растягивающие силы, а пружина 2 — сжимающие перемещение узла положительно. Из сравнения двух рассмотренных примеров видно, что пружины 2 в них воспринимают одинаковые по величине, но разные по знаку силы

Уравнения основных контуров. Используя закон Кирхгофа (42) для относительного движения узлов в замкнутом контуре, запишем уравнения основных контуров для графа, изображенного на рис. 20, в, опорное дерево которого образуют ветви 1, 2, 4 (жирные линии). Хорды 3, 5 и 6 (светлые линии) определяют основные

контуры и их направления. Уравнения имеют вид

Эти уравнения запишем в матричной форме, введя в рассмотрение кинематические переменные всех двухполюсников (элементов), причем в матрице-столбце (векторе) кинематических переменных двухполюсников упорядоченно расположим сначала кинематические переменные хорд, а затем — ветвей дерева

Для уравнений, записанных в порядке следования порождающих их хорд, получим

Независимость уравнений этой системы следует из наличия единичной матрицы третьего порядка, отвечающей вектору хорд (Число независимых уравнений контуров равно числу хорд Используя введенное ранее для прямоугольной матрицы основных контуров обозначение уравнение (58) представим в виде

Уравнение (59) можно записать также в разделенной матричной форме

где есть матрицы-столбцы кинематических переменных хорд и ветвей соответственно. Из уравнения (60) следует, что

Следовательно, кинематические переменные хорд всегда можно выразить в виде явных функций от кинематических переменных ветвей дерева. Для справедливости обратного вывода матрица должна иметь обратную. По этой причине при выборе опорного дерева графа системы в него следует включать источники кинематических величин. Из уравнения (61) следует, что кинематические переменные двухполюсников цепи могут быть заданы произвольно тогда, когда они входят в ветви некоторого дерева графа [6]. Как следствие заключаем, что источники произвольно заданных кинематических величин не должны образовывать контура в графе цепи.

Уравнения основных сечений. В соответствии с законом Кирхгофа для сил (41) запишем узловые уравнения для узлов и с цепи, изображенной на рис. 20:

Сложив первые два уравнения и добавив второе и третье, получим систему

Эту систему уравнений можно получить непосредственно из графа цепи, изображенного на рис. 21, а, если использовать матрицу основных сечений графа:

к матрицу-столбец (вектор) силовых переменных двухполюсников цепи, записанных в упорядоченной последовательности индексов хорд и ветвей,

Система уравнений (62) следует из матричного уравнения

Уравнения (65) называют уравнениями основных сечений, а их независимость следует из наличия единичной матрицы третьего порядка, отвечающей вектору ветвей. (Число уравнений основных сечений равно числу ветвей дерева Матричное уравнение (65) можно представить в разделенной матричной форме

где есть матрицы-столбцы силовых переменных хорд и ветвей соответственно. Из уравнения (66) следует, что

Таким образом, силовые переменные ветвей всегда можно выразить в внде явных функций силовых переменных хорд. Для справедливости обратного вывода матрица (в общем случае прямоугольная) должна иметь обратную матрицу. По этой причине при выборе опорного дерева графа цепи в него не следует включать источники сил. Из уравнения (67) следует также, что силовые переменные двухполюсников цепи могут быть заданы произвольно только тогда, когда они входят в дополнение дерева (в хорды графа цепи) [4]. Следовательно, источники произвольно заданных сил могут быть включены только в хорды графа цепи. Сравнение уравнений (61), (67) и (56) показывает, что при исследовании системы нет необходимости выводить обе системы уравнений. Любая из систем является достаточной для решения задачи.

Уравнения связи кинематических переменных цепи. Если двухполюсник Цепи включен между узлами и стрелка его ассоциированного направления идет от то кинематическая переменная этого двухполюсника выражается через Узловые кинематические переменные в соответствии с уравнением (6) следующим образом когда ассоциированное направление совпадает с направлением оси когда они противоположны. Матрица вершин графа цепи характеризует связь двухполюсников с узлами. Поэтому матрица-столбец кинематических переменных элементов цепи и матрица-столбец узловых кинематических переменных, записанные с тем же порядком следования индексов лементов и узлов, что и в матрице связаны между собой равенством

когда ассоциированные направления положительны, и равенством

когда ассоциированные направления отрицательны.

Так, для цепи, показанной на рис. 20, в соответствии с уравнением (43) имеем

Поскольку один из узлов всегда принимается за опорный связь между кинематическими переменными цепи выражается через транспонированную упрощенную матрицу вершин в которой отсутствует столбец матрицы А, отвечающий опорному узлу:

где матрица-столбец узловых кинематических переменных, имеющая элементов и не содержащая переменной опорного узла.

Так, уравнение (70) при опорный узел) принимает вид

Уравнение (71) всегда разрешимо в силу свойства (3) матрицы вершин. Для этого в матрице необходимо выделить неособенную квадратную подматрицу порядка отвечающую дереву графа. Тогда уравнение (71) можно записать в разделенной форме:

Отсюда следует, что

Из уравнения (72), в частности, имеем

Решение уравнений системы. Пусть требуется определить все силовые и кинематические переменные двухполюсников и узловые кинематические переменные цепи, имеющей элементов (из которых источники) и узлов. Поскольку узловые кинематические переменные всегда могут быть получены через кинематические переменные элементов из уравнения (74), задача сводится к отысканию переменных двухполюсников. Для элементов имеем переменных. Для каждого из источников известна одна силовая или кинематическая переменная — соответственно для

источника силы и кинематической величины. Поэтому при наличии в цепи источников необходимо находить переменных. Число уравнений пассивных двухполюсников равно уравнений основных сечений и уравнений основных контуров Следовательно, общее число уравнений

Таким образом, указанные уравнения образуют совместную систему из уравнений, называемых уравнениями системы, решение которой позволяет найти искомые переменные. При решении уравнения записывают через преобразования Далласа искомых переменных. Сложность операций, связанных с решением системы уравнений, можно существенно уменьшить, если использовать определенные порядок подготовки уравнений и последовательность операций при их решении [6]. Прежде всего необходимо выбрать опорное дерево графа цепи, причем так, чтобы источники кинематических величин были представлены в графе ветвями, а источники сил — хордами. Если это сделать невозможно, то нельзя получить и полное решение. Далее необходимо сгруппировать полученные уравнения основных сечений и контуров так, чтобы заданные переменные ветвей и хорд были представлены самостоятельными матрицами-столбцами. С учетом сказанного матрицы и представим через подматрицы

и уравнения (60) и (66) перепишем, переставив местами хорды и ветви так, чтобы в матрицах-столбцах переменных двухполюсников вначале шли переменные источников кинематических величин, а замыкали их переменные источников сил. Уравнения графа примут вид: уравнения основных сечений

уравнения основных контуров

где индексы бис, как и ранее, относятся к ветвям и хордам; матрица-столбец заданных кинематических переменных; матрица-столбец заданных силовых переменных. Из уравнения (56) следует, чтсг

поэтому из графа необходимо записать только матрицу основных контуров или только матрицу основных сечений. Затем в соответствии с уравнениями (35) и (36) следует записать уравнения двухполюсников в прямой форме:

или обратной форме:

Ниже описан ход решения, когда уравнения системы требуется записать через кинематические переменные (уравнения ветвей). В этом случае уравнения Двухпо люсников должны быть записаны в прямой форме (81). Эти уравнения подставляют в уравнения основных сечений (78):

Из первой строки уравнений контуров (79) находят как функцию переменных позволяет записать с учетом равенства

Подстановка (84) в (83) дает

Полученное матричное уравнение эквивалентно двум.

После преобразований эти уравнения имеют вид

Из системы уравнений 89) адходят кинематические переменные как функции заданных переменных

Число уравнений в системе (89) равно числу переменных в матрице-столбце Остальные кинематические переменные определяют из уравнений контуров (79):

Силовые переменные находят из 5 равнений двухполюсников (81), а из системы уравнений (88) с учетом (92):

Когда уравнения системы требуется записать через силовые переменные (уравнения хорд), используют следующий порядок решения уравнения двухполюсников, записанные в обратной форме (82), подставляют в уравнения основных контуров (79); затем в эти уравнения подставляют выражение для в функции от переменных найденное из второй строки уравнений сечений (78), в результате получают искомые уравнения

Примечание Следует помнить, что в общем случае рассматриваемые матрицы и подматрицы являются прямоугольными, а не квадратными

Пример. Для цепи, изображенной на рис 20 а, необходимо найти I) изображения по Лапласу для абсолютных и относительных скоростей узлов и воспринимаемых сил элементов при нулевых начальных условиях, 2) функцию цепи характеризующую преобразование ускорения источника ускорения в деформацию (относительное перемещение узлов) упругого элемента 2 (при положительном ускорение точки а положительно) Таким образом, необходимо наити кинематические переменные элементов узлов цепи а также силовые переменные элементов

Решение задачи найдем для обобщенных кинематических переменных, а искомые кинематические переменные и необходимые динамические параметры элементов цепи подставим в окончательные формулы Из графа цепи (рис 20 и 21) записываем уравнения основных сеченнй (78) [см также уравнение (65)]

а уравнения основных контуров (79) [см также уравнение (58)]

имея в виду, что заданы

Из уравнений (96) и (97) следует, что

Уравнения цепи запишем через кинематические переменные ветвей дерева; для этого уравнения пассивных двухполюсников цепи записываем в прямой форме

Подставив уравнения (98) в уравнения сечений (96) и осуществив затем замену с по мощью уравнений контуров (97):

находим необходимые для решения задачи уравнения цепн

Удовлетворяющие этому уравнению кинематические переменные найдем, пользуя общее решение (90) и найденные подматрицы цепи

Из уравнения (91) определим

и подставим в уравнение (100). Тогда получим

Из уравнений (92) и (93)

находим кинематические переменные

Силовые переменные, входящие в находим уравнений двухполюсников (98), а входящие в — из уравнения (94):

Подставив в полученные формулы требуемые кинематические величины и отвечающие им прямые динамические параметры (импедансы) получим искомые

переменные двухполюсников

Скорости узлов цепи найдем уравнения (75)

И, наконец, для функции цепи получим с учетом (106)

Анализ механических цепей методом графа сигналов. Построение графа механической цепи и его дерева дает возможность проводить анализ этой цепи без решения уравнений, используя граф сигналов цепи Граф сигналов позволяет непосредственно получить аналитическое выражение передаточной функции между любым его входом и выходом Построение графа сигналов для механической цепи производят следующим образом [9, 10].

1 На графе цепи выбирают опорное дерево. В ветви дерева включают все источники кинематических величин, но не включают ни одни источник силы (поэтому каждый из них всегда оказывается хордой графа).

2. Все кинематические переменные хорд выражают через кинематические переменные ветвей дерева на основании закона Кирхгофа для относительного движения узлов в замкнутом контуре, записанного для основных контуров [см. уравнения (42), (59) - (61)].

3. Силы ветвей дерева выражают через силы хорд на основании закона Кирхгофа для сил, записанного для основных сечений [см уравнения (41), (65) — (67)].

4. Полученные зависимости изображают графически по правилам графов сигналов. Построение графа сигналов заканчивают введением в него ребер, связывающих переменные пассивных элементов механической цепи. При этом для ветвей дерева передача направлена от сил к кинематическим переменным и равна восприимчивости, подвижности или динамической податливости, для хорд передача направлена от кинематических переменных к силам и равна динамической массе, импедансу или динамической жесткости (см. рис. 25).

Используя полученный граф сигналов, методом упрощения графа или по правилу Шэннона — Мэзона вычисляют передаточные функции от источников к зависимым переменным (см. стр. 62), а по ним — зависимые переменные.

Пример Для механической цепи, изображенной на рис 20, а, с помощью графа сиголов найти лапллсово изображение скоростидеформации упругого элемента 2 при заданных изобрлжеьиях сигналов источников

Для решения задачи по графу цепи (рис 20, б) строим граф сигналов (рис. 25), из которого для искомой переменной

необходимо найти передачи от источников соответственно к зависимой переменной Указанные пеиедачи находим по правилу Шэннона — Мэзона

Граф сигналов имеет три петли, из которых две некасающиеся, поэтому

Окончательно получаем

[Сравните результат со вторым выражением в уравнении (106)].