2. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ

Методы определения и представления спектральной плотности процесса. Если для решения задачи достаточно ограничиться лишь статистическими характеристиками второго порядка: несущими основную информацию об исследуемом процессе, то приемлема модель гауссовского процесса

В большинстве случаев вместо автокорреляционной функции измеряют спектральную плотность (одностороннюю) являющуюся преобразованием Фурье автокорреляционной функции, т. е. находят оценку

в то время как в теории исследуют спектр определенный в области частот так что

Выражение (7) является одиим из алгоритмов определения спектральной плотности, реализуемым в цифровых анализаторах или при обработке процессов на ЭВМ. Другой алгоритм дает определение спектра через амплитудный спектр отрезков процесса:

где амплитудный (комплексный) спектр отрезка процесса

Анализ алгоритмов определения спектра мощности показывает следующее.

1. Оценка спектра по отрезкам реализаций конечной длительности представляет собой результат сглаживания истинного спектра вследствие конечной полосы частотной характеристики анализатора. Эта оценка на частоте в является дисперсией выделенного фильтром анализатора процесса, нормированной полосой анализатора:

2. Частотная характеристика анализатора определяется видом весовых функций и в идеальном случае должна иметь следующий вид:

Приближение к этому виду в цифровых анализаторах Достигается подбором весовых функций а в аналоговых анализаторах — конструированием фильтров с «прямоугольной» частотной характеристикой.

3. Снижение флюктуационной (случайной) погрешности достигается либо усреднением по времени при определении корреляционной функции либо усреднением по множеству квадратов модуля амплитудных спектров реализаций, каждую из которых в случае модели стационарного эргодического процесса можно получить из одного отрезка длительностью делением его на отрезков, т. е. в конечном счете также путем усреднения по времени. Относительная флюктуационная погрешность убывает при

где а — коэффициент, зависящий от вида детектора и частотной характеристики (или весовой функции) фильтра [14]. Следовательно, оценка является состоятельной.

4. При анализе смешанного спектра процесса, состоящего из случайного стационарного процесса и суммы гармонических колебаний, необходимо учитывать различную размерность величин этих компонентов спектров и различное их представление спектральным анализатором, показания которого для сплошного спектра пропорциональны полосе анализа:

а для дискретного спектра не зависят от полосы анализа:

где амплитуда гармонической составляющей. Поэтому при обработке результатов измерений спектральной плотности мощности смешанного спектра используют один из следующих способов:

1) выделяют дискретные составляющие спектра и оставляют показания анализатора на частотах дискретных составляющих неизменными, а уровни сплошной части спектра делят на энергетическую полосу пропускания анализатора

2) представляют спектр в виде частотной зависимости дисперсии на выходе анализатора, имеющей размерность квадрата измеряемой величины:

но при этом указывают полосу анализа необходимую для сопоставления спектров, полученных с разными полосами анализа.

5. При проектировании анализаторов учитывается, что проще и точнее измерять не дисперсию на выходе фильтра анализатора где результат фильтрации (представляемой оператором исследуемого процесса фильтром анализатора с полосой Да среднеквадратичное значение уровни которого изменяются в меньшем диапазоне значений, чем этом размерность спектральной характеристики совпадает с размерностью измеряемой величины: Результат измерения спектра чаще представляют (и фиксируют на самописцах) в логарифмическом масштабе, при введении которого снимается различие размерностей измеряемых величин, так как где принятое нулевое значение измеряемой величины (в частности, для ускорения вибрации Логарифмический масштаб имеет преимущества перед линейным, так как позволяет зафиксировать и представить все точки (уровни) спектра с равной относительной погрешностью, а также упростить последующую обработку данных, заменяя, например, умножение на поправочный постоянный коэффициент введением аддитивных поправок на чувствительность датчика или виброизмерительного тракта для получения абсолютных значений спектра среднеквадратичных значений.

Рассмотрим далее схемы и принципы работы анализаторов спектра.

Спектрометры. Наиболее простой спектральной характеристикой вибрации является октавный спектр (где и т. д.), представляющий собой ряд отсчетов дисперсий процесса в смежных полосах частот, шириной, равной октаве полуоктаве третьоктаве или в общем случае где верхняя частота полосы, нижняя частота полосы пропускания октавного фильтра.

Таким образом, октавный спектр представляет собой сглаженную по частоте оценку спектральной плотности мощности с переменной шириной сглаживающей функции (спектрального окна) , где средняя геометрическая частота фильтра

Прибор для измерения этой характеристики называют — октавным спектрометром. Он содержит набор октавных полосовых фильтров, включенных параллельно, к выходам которых подключены дегекторы среднеквадратичных значений и RC-интеграторы Электронный коммутатор осуществляет сканирование выходов интеграторов, в результате чего на экране электронно-лучевой трубки образуется линейчатое изображение спектра, полученное в реальном масштабе времени (например, прибор типа 3347 [7]). В более простых моделях спектрометров выходы фильтров переключаются механически, а результат записывается на ленте самописца.

Частоты октавных фильтров стандартизованы и определены стандартом МЭК 225-1966, ANSI S1II-1966 и ГОСТ 12090-66. Наиболее распространенные третьоктавные фильтры звукового диапазона частот имеют следующие средние частоты полос фильтров:

Спектрометры являются удобным инструментом для промышленных измерений вибрации механизмов, систем, установок, так как представляют результат в виде определенного набора цифр. Такой результат легко обрабатывать, например сравнивать с эталонным, усреднять с другими измерениями, вводить поправки для приведения к абсолютным уровням и т. д. Эту вторичную обработку данных при большом объеме измерений можно провести на ЭВМ [10, 13]. Однако для выявления более тонкой спектральной структуры процесса, необходимой для ряда исследований вибраций, требуются узкополосные анализаторы спектра. Рассмотрим их функциональные схемы.

Узкополосные анализаторы последовательного анализа измеряют спектр последовательно по частоте. Работа анализаторов может быть основана на следующих алгоритмах (методах).

Метод преобразования Фурье исследуемого процесса (безфильтровый анализатор спектра) описывается алгоритмом

В соответствии с этим в блоках анализатора выполняются следующие действия (рис 2):

1) перемножение в модуляторах 2 процесса на синусный и косинусный сигналы гетеродина 3 с медленно изменяющейся частотой

2) сглаживание полученных произведений интегратором с весовой функцией полоса пропускания которого (односторонняя, соответствует половине полосы анализатора: результаты сглаживания определяют косинусную и синусную составляющие спектра (дают их мгновенные оценки);

3) возведение в квадрат и суммирование квадратов составляющих спектра, дающее мгновенную оценку спектра мощности;

4) усреднение с импульсной переходной характеристикой дающее сглаженную оценку спектра мощности, точнее — дисперсию процесса, отфильтрованного полосой т. е. для перехода к спектральной плотности мощности

результат следует разделить на что выполняется в случае необходимости вручную.

2. Анализатор фильтровой гетеродинного типа содержит узкополосный полосовой фильтр, но вместо перестройки его частоты, что технически нерационально, используют смещение спектра вдоль оси частот за счет операции гетеродинирования. В блоках анализатора (рис. 3) выполняются следующие действия:

1) исследуемый сигнал умножается в модуляторе 2 на напряжение гетеродина 3 с медленно изменяющейся частотой что дает спектры суммарных и разностных частот;

2) из спектра суммарных частот полосовым фильтром 4 вырезается полоса частот

3) выделенный сигнал детектируется квадратичным детектором 5 или детектором среднеквадратичных значений [22];

4) результат усредняется (сглаживается) и подается на индикатор-самописец 7, при этом роль интегратора 6 часто выполняет самописец 6 с определенно выбранной скоростью пера.

Рис. 2. Схема «бесфильтрового» анализатора спектра: 1 — усилитель; 2 — модулятор (перемножнтель), 3 — гетеродин, 4 — интегратор с импульсной переходной характеристикой детектор (квадратичный); 6 — сумматор, 7 — интегратор с импульсной переходной характеристикой самописец

Рис. 3. Гетеродинный анализатор спектра: 1 — усилитель; 2 — модулятор, 3 — гетеродин; 4 — узкополосный полосовой фильтр; 5 — детектор (среднеквадратичных значений); 6 — интегратор с импульсной переходной характеристикой Ли самописец

В практических схемах в полосовом фильтре также может быть применен принцип гетеродинирования (второй гетеродин) для смещения полученного спектра вниз по частоте с целью облегчения создания узкополосного фильтра (например, см. анализаторы [18]). Анализатор содержит различные вспомогательные цепи, аттенюаторы, органы регулирования, калибровки, управления и средства отображения информации (стрелочные приборы, электронно-лучевая трубка).

При использовании узкополосных анализаторов необходимо правильно выбирать основные параметры анализа:

1) полосу анализа выбирают из условия т. е. разрешения по частоте двух максимумов изрезанного спектра, с разностью их частот

2) время усреднения выбирают из условия допустимой флюктуационной погрешности считая приемлемой

3) скорость последовательного анализа, т. е. скорость о, развертки спектра по частоте выбирают такой, чтобы динамические ошибки спектрального анализа вследствие инерционности интегратора не превосходили флюктуационную погрешность, тогда

Для каждого анализатора целесообразно составлять таблицы или графики [14], связывающие основные параметры пользуясь которыми легко выбрать параметры анализа исходя из конкретных условий измерений. Расчетные оценки

показывают, что при высокой разрешающей способности требование малой флюктуационной погрешности привело бы к продолжительности анализа чрезвычайно большой, например для анализатора типа при Гц и необходимо выбрать а длительность анализа при частотах от до составит Поэтому с целью сокращения длительности анализа низкочастотных сигналов применяют их транспонирование вверх, т. е. мультипликативный перенос спектра в область высоких частот с помощью устройств запоминания исследуемой реализации и последующего многократного ее воспроизведения со скоростью в раз больше. При применении магнитофонов коэффициент транспонирования а в цифровых транспониаторах (например, прибор 7502 [7]), что позволяет во стотько же раз сократить длительность анализа и вести его в реальном масштабе времени.

Узкополосные анализаторы параллельного анализа. Применение набора параллельных узкополосных фильтров оказывается технически нерациональным. Поэтому параллельный узкополосный анализ выполняют одним из следующих методов:

1) применяя цифровые транспонирующие устройства и гетеродинные анализаторы последовательного действия с цифровым накоплением и запоминанием результатов анализа (например, прибор типа

2) применяя цифровые анализаторы спектра, работающие по алгоритму быстрого преобразования Фурье в реальном масштабе времени (например, прибор типа 2031 [21]).

При использовании анализаторов этого типа выбирают число усреднений спектров исходя из допускаемой погрешности а верхнюю частоту диапазона — соответственно условиям эксперимента. Если необходимо повысить разрешающую способность анализатора, то применяют гетеродирование вниз по частоте сигнала, предварительно отфильтрованного полосовым фильтром. При необходимости слежения за уровнем гармонической составляющей с изменяющейся частотой можно автоматически изменять масштаб оси частот цифрового анализатора, если синхронизовать его частоту квантования частотой вращения ротора механизма.

Определение спектра по корреляционной функции сигнала удобно применять в сочетании с корреляционным анализом процессов. На этапе получения корреляционной функции может быть достигнута экономия вычислительных операций за счет применения разреженной выборки [4], т. е. отсчетов пар значений процесса отстоящих от предыдущей пары отсчетов на интервал времени тк, где тк — интервал корреляции процесса. Преобразование Фурье производится после определения корреляционной функции. Невозможность наблюдения за мгновенным спектром ограничивает применение этого метода.

Анализ неслучайных, например периодических процессов, отличается тем, что отпадает необходимость в усреднении измеряемых величин и в их сглаживании. Поэтому при анализе неслучайных периодических процессов применяют те же анализаторы спектра, но при измерениях определяют спектр по одной выборке или выбирают время усреднения равное нескольким периодам исследуемой функции, что существенно сокращает длительность анализа. При исследовании импульсных (однократных) процессов применяют запоминание либо результата анализа в приборах параллельного анализа либо процесса с последующим его многократным воспроизведением и анализом в приборах последовательного анализа.