7. ГРАФЫ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ

Анализ сложных линейных механических цепей удобно проводить с помощью линейных графов. Линейный граф представляет собой схематический рисунок в виде сетки, элементами которой являются отрезки линий и места их соединений. Отрезки линий вместе с концевыми точками называют ребрами графа, а концевые точки ребра — вершинами. Строго линейным графом называют множество ребер, не имеющих никаких других общих точек, кроме вершин. При анализе механических цепей используют линейные графы цепей (графы цепей) и линейные графы сигналов (графы сигналов, графы потока сигналов) цепей И те и другие графы являются направленными, так как каждое ребро в них ориентировано. Граф цепи несет информацию о соединении элементов цепи и всю информацию о связи переменных этой цепи. Граф

сигналов несет информацию только о системе уравнений, связывающих переменные цепи.

Основные понятия, определения и соотношения теории линейных графов цепей. Линейный граф цепи есть граф, в котором двухполюсным элементам и узлам цепи поставлены в соответствие ребра и вершины графа: ребра представляют двух полюсники, а вершины — полюсы или узлы в соединении двухполюсников (рис. 20). Линейные графы цепей являются направленными: ориентация ребер в них совпадает с ассоциированными направлениями двухполюсников цепи (см. рис. 20). Ниже общее число ребер графа обозначено буквой а число вершин в графе — буквой и; на рис.

Вершина и ребро инцидентны друг другу, если рассматриваемая вершина есть концевая точка ребра. Граф называют связным, если между любыми двумя его вершинами существует путь, образованный ребрами графа. (Ниже рассматриваются только связные графы).

Рис. 20. Механическая цепь (а) и ее граф, представленный в двух конфигурациях и в): 1 — источник кинематической величины; 2, 3 — упругие элементы; 4, 5 — инерционные элементы; 6 — источник силы; ось инерциальной системы отсчета; дерево графа, I, II, III — основные контуры графа

Подграфом данного графа называют его часть, состоящую из некоторых его ребер. Дополнением подграфа называется вся остальная часть рассматриваемого графа. Связный граф или подграф, в котором каждая вершина инцидентна только двум ребрам, называют контуром. Следовательно, ребра контура образуют замкнутый путь.

Важнейшим понятием теории графов является дерево. Деревом связного графа называют связный подграф, содержащий все вершины этого графа, но не содержащий контуров.

Ребра дерева называют ветвями, а ребра, образующие дополнение дерева, — хордами. Связный граф с вершинами и ребрами содержит ветвей хорд. (На рис. 20 жирными линиями показано одно из деревьев графа цепи; ребра 1, 2, 4 есть ветви, и 6 — хорды графа). С использованием понятия дерева связано определение числа независимых уравнений Кирхгофа, метода выбора независимых уравнений, структуры коэффициентов матриц уравнений и формулы функций цепей.

Важным для дальнейшего является понятие сечения, дуальное понятию контура [5, 11]. Сечением называют такое множество ребер связного графа, удаление которого Делит исходный граф на два изолированных подграфа. Следовательно, сечение представляет собой разделение вершин графа. Для большинства графов простой метод определения сечений состоит в нанесении на граф линий, отсекающих одни вершины от других (рис. 21). Однако могут быть и такие сечения, которые нельзя показать, не придав графу другой конфигурации. Важными являются также понятия неразделимых, планарных и дуальных графов. Граф называют неразделимым, если каждый подграф графа имеет минимум две вершины, общие с его дополнением. Неразделимый граф соответствует неразделимой цепи, Разделимая механическая

цепь состоит из частей, соединенных только в одном узле. Динамическое поведение частей можно рассматривать независимо друг от друга. (Ниже рассматриваются только неразделимые цепи.)

Изображенный на плоскости граф является планарным, если он может быть представлен так, чтобы не было двух ребер, имеющих общую точку, которая не являлась бы вершиной. Таким образом, пленарный граф можно представить так, что он будет делить плоскость на неперекрывающиеся области, ограниченные ребрами графа (граф, изображенный на рис. 20, является планарным).

Рис. 21. Сечения (I—VII) графа механической цепи, показанной на рис. 20; I, II, III — основные сечения; дерево графа

Рис. 22. Два основных непланарных графа (жирными точками с индексами показаны вершины графа)

Необходимое и достаточное условие планарности графа состоит в том, чтобы он не содержал в качестве подграфов двух основных непланарных графов Куратовского, показанных на рис. 22 [11, 17].

Граф является дуальным исходному, если имеется взаимно однозначное соответствие ребер графов и взаимно однозначное соответствие контуров исходного графа вершинам дуального графа, и наоборот.

Рис. 23. Механическая цепь (а), ее исходный граф и дуальный граф вершины дуального графа; индексы соответствующих ребер графа помечены звездочками

Всякий пленарный граф имеет дуальный граф для всякого неразделимого пленарного графа дуальный граф может быть построен на плоскости так, что, во-первых, соответствующие ребра графов пересекаются и не пересекают других ребер, во-вторых, внутри каждой области исходного графа находится только одна вершина дуального графа Граф, дуальный неразделимому графу, неразделим. (На рис. 23 показаны механическая цепь, исходный граф и построенный указанным выше способом дуальный граф показан совместно с графом G и отдельно,)

Исходные и дуальные графы механических цепей очень удобны при рассмотрении динамических аналогий между механическими и электрическими цепями (см. том 1 гл. II, раздел 5). При использовании аналогии сила — напряжение конфигурация электрической цепи определяется конфигурацией дуального графа, а ее контурные переменные аналогичны кинематическим переменным узлов механической цепи. При использовании аналогии сила — ток конфигурация электрической цепи имеет конфигурацию исходного графа, но узловые переменные электрической цепи аналогичны кинематическим переменным узлов механической цепи. В табл. 2 приведены величины — аналоги для упомянутых аналогий.

2. Величины-аналоги для аналогий сила — напряжение и сила — ток

(см. скан)

На рис. 24 представлены электрические цепи — аналоги механической цепи, показанной на рис. 23, построенные с использованием аналогий сила — напряжение и сила — ток.

Матрица вершин. Важной характеристикой графа является матрица вершин, или матрица инциденций размера и строк которой соответствуют вершинам, а столбцов — ориентированным ребрам графа. Элементы заданы следующим образом:

Порядок следования вершин и ребер може быть любым, однако, если опорное дерево выбрано, то матрицу лучше составлять в упорядоченной последовательности индексов хорд и ветвей. Так, матрица вершин -рафа, показанного на рис. 20, может быть записана в виде

(Индекс а у матрицы означает, что матрица записана для всех вершин; слева указаны вершины, а сверху — ребра графа). Матрица вершин представляет собой

матрицу коэффициентов уравнений воспринимаемых сил двухполюсников, записанных в соответствии с законом Кирхгофа для сил (41). Кроме этого транспонированная матрица связывает кинематические переменные двухполюсников с их полюсными (узловыми) переменными. Некоторые свойства матрицы вершин приведены ниже

Рис. 24. Электрические цепи — аналоги механической цепи, показанной на рис. 23: а — цепь с конфигурацией графа GB: б - цепь с конфигурацией графа

1. Каждый столбец матрицы всегда имеет один элемент, равный 1, и один элемент, равный —1; все остальные элементы равны нулю.

2. Ранг матрицы равен следовательно, только из уравнений сил, определяемых этой матрицей, являются независимыми. Матрицу А, полученную из матрицы вычеркиванием одной строки, называют упрощенной матрицей вершин.

3. Для того чтобы в матрице А подматрица размера была неособенной, необходимо и достаточно, чтобы ее столбцы соответствовали некоторому Дереву графа.

Замечание. Исключение из некоторой строки дает матрицу А, получающуюся при анализе цепи методом уравнений узлов, когда в качестве опорного узла, относительно которого определяется движение других узлов, принят узел, соответствующий исключенной строке.

Матрица контуров [5, 11] Каждая строка матрицы контуров соответствует одному контуру графа, а столбцов — ребрам графа. Контуры ориентированы, так как для каждого из них выбрано направление обхода. Элементы матрицы задают следующим образом: если ребро принадлежит контуру направления совпадают; если ребро принадлежит контуру I, но их правления противоположны; если ребро не принадлежит контуру

Так, матрица для графа, приведенного на рис. 20, содержащего семь конту. ров с одной, двумя и тремя хордами, имеет вид

(Слева указаны номера контуров, а сверху — ребра графа).

Матрица контуров представляет собой матрицу коэффициентов уравнений Кирхгофа для кинематических переменных двухполюсников цепи (42). Для практики наиболее важны основные контуры графа, позволяющие получать совместную систему независимых уравнений кинематических величин. Основные контуры графа относительно опорного дерева представляют собой контуров, образованных каждой хордой и ее единственным путем в дереве между вершинами этой хорды. Направление основного контура выбирают совпадающим с направлением хорды.. Матрицу В основных контуров составляют в соответствии с принятой последовательностью индексов хорд и ветвей дерева причем строки должны следовать также в порядке следования порождающих их хорд:

(штриховая линия делит матрицу В на две части, относящиеся к хордам и ветвям.)

Единичная матрица определяет ранг матрицы В, которая является подматрицей матрицы Так, в определяемой равенством (44) матрице первые три строки образуют матрицу

Некоторые свойства контурных матриц приведены ниже [5, 11].

1. Ранг матриц равен следовательно, существует независимых контурных уравнений. Одним из способов формализованного получения этих уравнений является использование основных контуров. Если В есть матрица контуров, имеющая строк и ранг, равный то существует взаимно однозначное соответствие между дополнениями деревьев графа и неособенными квадратными подматрицами порядка упрощенной матрицы контуров В.

2. Если столбцы матриц В записаны с одинаковой последовательно стью индексов ребер, то

3. Если матрицу вершин А представить через хорды и ветви дерева

то матрицу основных контуров для дерева, соответствующего исходя из уравнения (48), можно представить в виде

(Индекс сверху здесь и далее означает транспонирование матрицы).

Матрица сечений [5]. Как указывалось выше, сечение есть множество ребер графа, определяющих разделение его вершин. Сечения ориентируют, задавая им направления относительно одного из ребер каждого сечения, и помечают это направление стрелкой при линии, обозначающей сечение. Свойства сечений графа удобно

представлять матрицей сечений, которая по существу содержит ту же информацию, и матрица вершин. Матрица сечений содержит столбцов по числу ребер графа, а число строк равно числу возможных сечений графа. Элементы матрицы определяют следующим образом: если ребро находится в сечении и их направления совпадают; если ребро находится в сечении но их направления противоположны; если ребро не находится в сечении Граф, изображенный на рис 21, а и отвечающий цепи, показанной на рис. 20, имеет семь сечений (сечение VII, содержащее ребра 1, 2, 3 и 4, показано на рис. 21, б), и его иатрица сечений имеет вид

Хорды Ветви

(Слева указаны номера сечений, сверху — ребра графа).

Матрица представляет собой матрицу коэффициентов уравнений воспринимаемых сил двух полюсников, полученных путем линейного преобразования узловых уравнений, записанных в соответствии с законом Кирхгофа для сил (41). Поэтому строки матрицы являются линейными комбинациями строк сечений, записанных для вершин. Так, строка I в приведенной выше матрице может быть получена как сумма V и II или разность IV и III строк, строка VI — как разность IV и V или сумма III и II строк, а строка VII — как сумма III и V или разность IV и II строк. Для решения задач наиболее важны основные сечения графа, позволяющие получать совместную систему независимых уравнений воспринимаемых сил двухполюсников

Основные сечения графа относительно опорного дерева представляют собой о — 1 сечений, каждое из которых содержит только одну ветвь дерева Направление основного сечения выбирают совпадающим с направлением порождающей его ветви опорного дерева. Матрица основных сечений, составленная в соответствии с упорядоченной последовательностью индексов хорд и ветвей дерева так что сечения идут в порядке следования порождающих их ветвей, имеет вид

Единичная матрица определяет ранг матрицы являющейся подматрицей матрицы В определяемой равенством (50) матрице первые три строки образуют матрицу

Некоторые свойства матриц сечений приведены ниже [5].

1. Матрица сечений содержит все строки матрицы вершин (некоторые строки последней могут быть умножены на —1).

2. Ранг матриц графа с вершинами равен Следовательно, существует независимых уравнений для воспринимаемых сил двухполюсников. Одним из способов формализованного получения этих уравнений является использование основных сечений. Если есть матрица сечений рассматриваемого графа, имеющая строк и ранг, равный то существует взаимно однозначное соответствие между неособенными квадратными подматрицами матрицы и деревьями графа.

3. Если столбцы матриц В записаны с одинаковой последовательностью индексов ребер графа, то

4. Если матрицы записаны в соответствии с принятой последовательностью индексов хорд и ветгем дерева, так что

то из уравнений (49) и (53) следуют выряжпшя

Из уравнений (49) и (56) следует, что матрицы можно вычислить непосредственно из матрицы А, отвечающей опорному дереву

Основные понятия, определения и соотношения теории графов сигналов. Графом сигналов цепи называют линейный направленный граф, ребра которого характеризуют направление и величину передачи сигнала (переменной), а вершины являются переменными цепи. Под передачей (передаточной функцией) ребра понимают отношение выходной величины к входной (или лапласовых изображений этнх величин). редача ребра может быть размерной и безразмерной. Таким образом, граф сигналов представляет собой графическое изображение соотношений межд) переменными, для линейной системы — изображение системы линейных уравнений. На рис. 25 показан граф сигналов цепи, изображенной на рис. 20, а.

Рис. 25. Граф сигналов механической цепи, показанной на рис. 20, а

К вершинам графа могут подходить и от них отходить несколько ребер. Сигнал (переменная) вершины равен сумме сигналов, приходящих к ней, при этом выходящие из вершины сигналы не учитываются. В зависимости от переменных, выбранных в качестве вершин, граф сигналов может иметь различную структуру.

Последовательность ребер, вдоль которых сигнал может проходить в указанном направлении, образует путь прохождения сигнала; между двумя вершинами может находиться любое количество путей. Путь, в котором нет вершин, встречающихся более одного раза, называют разомкнутым. Любой путь, возвращающийся к исход ной вершине и не проходящий дважды через одну и ту же вершину, называют замк нутым, или петлей. Не всякий контур образует петлю. Петля, образованная одним замкнутым ребром, называется элементарной петлей графа. Разомкнутый путь от исходной вершины к другой заданной называют прямым. Передача разомкнутого пути или петли раена произведению передач проходимых ребер. Вершина, представляющая независимую переменную, называется источником; в источник не заходи ни одно из ребер.

Определение передачи от источника к некоторой вершине графа осуществляют двумя способами: 1) для простых графов последовательным упрощением с помощыс специальных правил [1, 9, 14, 18, 19] (основные из этих правил представлены н» рис. 26); 2) для сложных графов с помощью правила Шэннона — Мэзона [1, 2, 10, 18, 19, 20], при этом исходный граф может быть предварительно упрощен. При наличии нескольких источников в графе искомую переменную находят, используя принцип суперпозиции, поскольку рассматриваются линейные системы.

Правило Шэннона — Мэзона. Передача от источника (входного сигнала) к зависимой переменной (выходному сигналу)

где передача -го прямого пути между заданными входом и выходом; определитель подграфа, образующегося в результате исключения из исходного графа пути с передачей и вершин, через которые он проходит; определитель графа сигналов (одинаковый для всех пар входов и выходов графа).

Рис. 26. (см. скан) Схемы упрощения графов сигналов; — простейшие эквивалентные преобразования: а — сложение, умножение, в Раскрытие скобок в произведении; II — исключение узла в звезде; III — образование элементарной петли; IV — учет влияния элементарной петли; V — инверсия передачи от выходного сигнала к входному

Суммирование производится по всем имеющимся прямым путям. Причем

где сумма передач всех петель графа; сумма произведений пере. дач некасающихся петель для всех возможных сочетаний петель по две; то же, для сочетаний некасающихся петель по три и т. д.

Определители находят аналогично.