2. СЛУЧАЙНЫЕ ПОГРЕШНОСТИ

Случайная погрешность и ее функция распределения. Случайная погрешность определяется как разность между исправленным результатом отдельного измерения и действительным значением измеряемой величины. Под исправленным понимают значение, из которого исключена систематическая погрешность.

Случайную погрешность рассматривают как центрированную случайную величину, полной характеристикой которой является интегральная или дифференциальная функция распределения. Вид функции распределения находят в процессе обработки результатов многократных измерений, а в некоторых случаях — по априорной информации о свойствах средств измерений.

В практике измерений наиболее часто встречаются следующие функции распределения: нормальная, равномерная, треугольная.

Нормальная функция распределения наблюдается у флюктуациоиных погрешностей (неравномерность электронной эмиссии, дробовой эффект, тепловые шумы); Для рядов экспериментальных данных при отсутствии корреляции; при большом числе независимых частных погрешностей и отсутствии доминирующей.

Равномерная функция характерна для погрешностей вследствие округления отсчетов до целого деления; при ручной компенсации по прибору дискретными регуляторами уравновешивающей величины, от зазоров в механически сочленяемых элементах приборов. Эту функцию принято приписывать погрешностям вследствие колебаний напряжения силовой сети, температуры окружающей среды в установленных пределах; а также всем видам малых неисключенных остатков систематической погрешности. Несимметричная равномерная функция соответствует погрешностям от изменения напряжения первичных и вторичных гальванических элементов, дрейфа выходных величин при разогреве за короткое время.

Треугольная функция распределения возникает при действии двух некоррелированных погрешностей, подчиняющихся равномерной функции распределения. Это может иметь место при измерениях по двум отсчетам, в частности при измерениях методом замещения, при измерениях длин, углов, интервалов времени и т. п.

Точечные оценки случайной погрешности. В качестве кратких оценок свойств случайной погрешности применяют точечные оценки, основанные на понятиях моментов случайной величины. Для этого используют интегральные моменты

где X — случайная величина, в частности случайная погрешность; порядок момента.

Наиболее часто применяют второй центральный момент, в отдельных случаях для точечной оценки используют третий и четвертый центральные моменты.

Точечные оценки, найденные на основании опытных данных, следует рассматривать как случайные величины, рассеяние которых зависит от свойств исходной случайной величины и объема выборки, т. е. числа измерений. Точечные оценки должны отвечать определенным требованиям:

1) состоятельность оценки заключается в приближении ее (по вероятности) к значению оцениваемого параметра по мере увеличения числа измерений;

2) несмещенность оценки имеет место, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру;

3) эффективность оценки достигается, если ее дисперсия меньше, чем у любой другой оценки данного параметра.

В качестве оценки истинного значения измеряемой величины принимают среднее арифметическое полученных результатов

Для оценивания сходимости результатов отдельных наблюдений в серии измерений одной и той же величины принимают оценку среднеквадратичного отклонения результатов наблюдений

Для перевода оценки в относительную форму используют соотношение

Для оценки симметрии распределения случайных погрешностей применяют коэффициент асимметрии

где третий центральный момент случайной погрешности.

Оценкой свойств распределения случайной погрешности является эксцесс большие значения которого отвечают распределениям с более острой вершиной:

Для нормального распределения

Большое практическое значение имеют оценки случайной погрешности с помощью интервалов.

Доверительные интервалы. Доверительными называют интервалы, в пределах которых находятся с определенными (доверительными) вероятностями истинные значения оцениваемых параметров. Обычно ширину доверительного интервала выражают через результатов отдельных наблюдений Тогда для нормального распределения при условии, что систематические погрешности исключены, а дисперсия известна,

где символ вероятности события, указанного в скобках; результат наблюдения; истинное значение измеряемой величины; нормированная интегральная функция ошибок; нормированный аргумент функции распределения.

Доверительная вероятность при заданном значении может быть найдена по таблицам функции

Половина длины доверительного интервала называется доверительной границей случайной погрешности измерения, соответствующей доверительной вероятности

При использовании данных измерений для вычисления результата сходимость последнего возрастает, для нормального распределения — пропорционально корню квадратному из числа наблюдений:

где доверительная граница погрешности результата измерений.

Если дисперсия результатов наблюдений неизвестна, то для нормального распределения находят дробь Стьюдента

где точечные оценки результата измерений и отдельного наблюдения.

Распределение этой дроби является функцией двух аргументов где — известно как распределение Стьюдента-Фишера, плотность которого

Значения этой функции табулированы [6]. При распределение Стьюдента-Фишера переходит в нормальное.

Для распределений, отличающихся от нормального, точные вычисления оценок с помощью интервалов представляют существенные трудности. Однако при Достаточно большом числе наблюдений (обычно для разных условий измерений) распределение среднего арифметического приближается к нормальному, что позволяет использовать соотношение (2),

Доверительные интервалы для результатов наблюдений находят, используя распределение Пирсона, которому подчиняется отношение

Плотность распределения Пирсона -распределения) описывается формулой

где называется числом степеней свободы.

Если значения вероятности выхода дисперсии за нижнюю и верхнюю границы доверительного интервала: то

где интегральная функция распределения Пирсона.

Доверительный интервал для среднеквадратичного отклонения определяется выражением

Грубые погрешности. Отдельные погрешности, значения которых не согласуются с данными статистической обработки остальных погрешностей измерений, называют грубыми. Предполагая строгое соответствие случайной погрешности принятому для нее распределению, в качестве критерия грубой погрешности принимают несоответствие наибольшей или наименьшей из погрешностей измерений доверительным интервалам, найденным для величии

Для нормального распределения результатов наблюдений функции распределения и совпадающие между собой, протабулированы [2].