2. ИНФОРМАЦИЯ ОБ ЭКСПЛУАТАЦИОННЫХ ВИБРАЦИЯХ

Понятие модели вибрационных процессов. Для того чтобы оценить способность объекта переносить вибрацию, необходимо иметь информацию об эксплуатационных вибрациях, т. е. иметь модель вибрационных процессов — ее структуру и параметры, адекватно описывающие реальные процессы.

В большинстве случаев реальные вибрационные процессы сложны и разнообразны. Поэтому может существовать достаточно большое количество моделей для их описания. Ниже рассмотрена общая модель эксплуатационной вибрации, которая, с одной стороны, охватывает достаточно широкий круг практических задач, а с другой — дает методическую основу для построения подобных моделей в тех случаях, когда эта модель оказывается непригодной

Рис. 1. Схема вибрационного состояния объекта

Пусть имеется объект А (рис. 1) В результате действия на него сил возникает вибрация конструкции объекта. Каждая точка объекта совер шает пространственные колебания В любой другой точке ее перемещения могут отличаться от перемещений в точке.

В наиболее общем случае колебания каждой точки — нестационарный случайный процесс. Однако на основании только этого утверждения прак тически невозможно построить модель. Необходимо ввести некоторые упрощающие допущения В качестве одного из таких допущений примем, что на достаточно малом интервале времени колебания точки представляют собой «отрезок» стационарного случайного процесса, а с течением времени характеристики стационар ного процесса изменяются.

Вторым допущением является предположение о том, что если процесс, характеризующий колебания точки объекта разбить на короткие одинаковые интервалы времени то характеристики стационарной вибрации изменяются скачком при переходе от одного интервала времени к следующему, но эти скачкообразные изменения режима вибрации не влияют на функционирование объекта. Последнее

утверждение справедливо, поскольку в реальных условиях режим не изменяется скачкообразно. Таким образом, модель вибрации объекта — последовательность «отрезков» стационарных случайных процессов равной продолжительности.

Последнее допущение — предположение о том, что характеристики стационарного процесса на каждом участке случайны и независимы для любых двух участков, в том числе и соседних в статистическом смысле.

Известно, что скалярный стационарный случайный процесс практически исчерпывающим образом может быть описан его спектральной плотностью Разбив частотный диапазон ( на интервалы всю информацию о спектральной плотности можно задать в виде дисперсионного вектора компонентами которого являются дисперсии процесса в узких полосах частотного диапазона,

При достаточно детальном разбиении частотного диапазона дисперсионный вектор по информативности практически равнозначен спектральной плотности рассматриваемого процесса (рис. 2).

Рис. 2. Схема замены спектральной плотности дисперсионным вектором

В большинстве случаев в любой точке объекта вибрация представляет собой пространственный процесс, и для ее описания необходимо дать характеристики не только каждой из компонент такого процесса (в принятой модели это спектральные плотности или соответственно дисперсионные векторы но и статистические характеристики связи между компонентами, взаимные спектральные плотности или соответствующие взаимные корреляционные векторы: где

Таким образом, в случае, когда на некотором отрезке времени вибрация в точке объекта А может рассматриваться как стационарный случайный процесс, практически полная информация о характеристиках этой вибрации может быть задана векторами

Если число диапазонов разбиения частотной оси равно то для полного описания вибрации в точке необходимо задать чисел:

Поскольку информация, содержащаяся в матрице практически полностью характеризует вибрационное состояние на интервале матрица может быть названа матрицей вибрационного состояния. При этом под вибрационным состоянием точки объекта понимают стационарную случайную вибрацию с фиксированными значениями элементов матрицы корреляционных векторов Два вибрационных состояния отличаются друг от друга, если хотя бы один из элементов матрицы отличается от соответствующего элемента матрицы

Рис. 3. График изменения вибрационного состояния объекта во времени

В соответствии с принятыми в предлагаемой модели допущениями элементы матрицы случайным образом изменяются (скачком!) при переходе от одного временного интервала к следующему, т. е. случайным образом изменяется вибрационное состояние в точке V, Рассмотрим многомерное пространство, осями которого являются элементы матрицы корреляционных векторов. Каждое вибрационное состояние может быть представлено в виде точки в этом пространстве (рис. 3) а процесс изменения вибрационного состояния во времени — в виде мгновенных «перескоков) из одной точки пространства вибрационных состояний в другую и т. д. через равные промежутки времени.

В большинстве частных случаев в каждой точке вибрации в направлении какой-либо одной оси оказываются более сильными, чем по другим направлениям. Тогда колебаниями по этим направлениям можно пренебречь и вибрационное состояние точки описывать с помощью только одного дисперсионного вектора Это значительно сокращает объем информации для описания вибрационного состояния чисел вместо и позволяет значительно упростить построение программы вибрационных испытаний.

Если перейти от рассмотрения вибрации одной точки объекта к рассмотрению вибрации его во многих точках, то можно утверждать, что для любого объекта существует такой набор ограниченного числа конкретных точек, что задание вибра ционного состояния для каждой из этих точек и статистической связи между коле баниямн в любой паре точек набора практически полностью описывает вибрационное состояние объекта в целом.

Так, для случая, когда имеются две контрольные точки: (рис. 1), кроме необходимо ввести взаимные спектральные плотности:

или соответствующие комплексные корреляционные векторы

где

При введении характеристик статистической связи между колебаниями в различных точках объекта резко увеличивается объем информации для описания вибрационного состояния, поэтому прежде чем включать подобную информацию в модель вибрационного состояния, всегда следует проанализировать, влияет ли связь между вибрациями в различных точках конструкции на те эффекты, которые вибрация может вызывать в функционировании объекта. В тех случаях, когда такое влияние не исключено, не следует отказываться от введения в описание вибрационного состояния характеристик статистической связи В противном случае это вполне допустимо и даже необходимо, так как усложнение модели вибрационного состояния затрудняет использование получаемой информации

Как и в случае с одной точкой объекта, всякое вибрационное состояние в заданном наборе точек может быть изображено некоторой точкой в пространстве параметров вибрационного состояния, хотя размерность этого пространства значительно выше, а изменение вибрационного состояния объекта во времени представляется скачкообразными переходами из одной точки пространства в другую через равные промежутки времени. Таким образом, в пространстве вибрационных состояний образуется ломаная траектория переходов из одного состояния в другое (см. рис. 3).

Получить информацию об эксплуатационных вибрационных состояниях екта — это значит:

1) выбрать модель вибрационного состояния (установить число и расположение контрольных точек в объекте, общий диапазон частот вибраций и его разбиение на интервапы направления колебаний в каждой точке и перечень статистических связей между точками или направлениями в точке, которая представляет интерес);

2) установить (экспериментальным, расчетным или другим путем), какие вибрационные состояния возможны при эксплуатации;

3) указать, как часто определенные вибрационные состояния могут встречаться при эксплуатации.

Множества эксплуатационных вибрационных состояний. Установить, какие вибрационные состояния возможны в эксплуатации, — это значит определить границы такой области С в пространстве параметров вибрационных состояний, что любое вибрационное состояние из этой области может хотя бы один раз встретиться для данного объекта в условиях эксплуатации Множество вибрационных состояний любой элемент которого назовем множеством эксплуатационных нибрационных состояний.

Формы задания границ множества С могут быть разнообразные. Одним из простых вариантов является непосредственное перечисление эксплуатационных состояний, т. е.

Это означает, что в эксплуатации невозможны никакие режимы вибрации, кроме перечисленных в приведенном ряде, Такая ситуация может иметь место, если

анализируемый объект установлен на некоторой стационарной машине, имеющей фиксированные режимы работы, например аппаратура управления на стационарном электрическом генераторе, эксплуатация которого допускается на определенных фиксированных режимах.

К сожалению, такая форма допустима в немногих случаях, и для наиболее распространенных групп наземных, надводных и воздушных объектов требуются более сложные модели множества С, поскольку оно оказывается для них несчетным. Второй вариант задания множества С состоит в том, что граница множества С представляется в виде выпуклого гипермногогранника. Если все элементы матрицы корреляционных моментов расположить в ряд и его члены обозначить то условие может быть записано в следующем виде:

В этой записи каждое неравенство означает, что вектор параметров вибрационного состояния расположен по одну сторону соответствующей гиперплоскости.

Совокупность гиперплоскостей образует гипермногограиник в -мерном пространстве. Наиболее простое описание множества С получается в том случае, когда вибрационное состояние объекта может быть описано по состоянию одной его точки и только по одной из осей.

В этом случае дисперсионный вектор описывающий полностью состояние объекта, должен принадлежать области, ограниченной неравенствами

Один из практических приемов построения подобной системы неравенств состоит в следующем.

Пусть имеются результаты наблюдений вибрационных состояний в эксплуатации, представленные в виде ряда

Если задаться некоторыми произвольными значениями коэффициентов и подставлять в первое неравенство поочередно все наблюдавшиеся значения дисперсионного вектора, то получится ряд значений

Из полученных значений следует оставить максимальное, так что

Это и будет искомое значение параметра Точно так же могут быть найдены другие значения В каждом случае коэффициенты а следует выбирать новыми, и смысл этого выбора должен отражать стремление более или менее равномерно ограничить множество С по всем направлениям, поскольку физический смысл коэффициентов а — наклон гиперплоскости к координатным осям. Достаточно наглядно можно проиллюстрировать это, если рассмотреть двумерный дисперсионный вектор

Тогда система (1) принимает вид

Каждое неравенство в (2) означает принадлежность вектора к полуплоскости, расположенной влево — вниз от прямой, уравнения которой получаются при замене знака на Совокупность прямых образует многогранник (рис. 4).

Учитывая, что можно утверждать, что геометрическим местом точек, удовлетворяющих (2), является заштрихованная область на рис. 4.

Допустим, что результаты наблюдений вибрационных состояний нанесены на график рис. 5 в виде точек.

Рис. 4. Схема построения границ множества С в виде многогранника

Рис. 5. Схема выбора коэффициентов и (1.1 и определения по экспериментальным точкам

Выбор пары коэффициентов означает выбор угла наклона прямой, определение по всем экспериментальным точкам — выбор из семейства параллельных прямых, проходящих через каждую точку, крайней (вверх—вправо) прямой, так что все экспериментальные точки оказываются под ней. Далее для новой пары решение повторяется, но при другом угле наклона прямой.

Число прямых может быть неограниченным, но углы наклона рекомендуется выбирать значительно отличающимися друг от друга. Так, на рис. 6 вариант следует предпочесть варианту а.

Другой способ построения гипермногогранника, ограничивающего множество эксплуатационных вибрационных состояний, основан на использовании следующей системы неравенств.

Первая группа неравенств означает, что дисперсия в частотной полосе не превышала некоторого максимального уровня. Вторая группа неравенств означает, что сумма дисперсий в двух частотных полосах не превышала максимального уровня. Это практически важное ограничение, так как свидетельствует о том, способна ли система интенсивно «возбуждаться» одновременно на двух частотах.

Последнее неравенство — ограничение общего уровня процесса. Смысл совместного выполнения этих ограничений можно проиллюстрировать на примере, в котором Ограничения изображены на рис. 7, а, б, в соответственно,

а на рис. 7, г показан выпуклый многогранник, полученный при совместном выполнении всех трех неравенств. Очевидно, что задание ограничений в форме (За) эквивалентно традиционному методу огибающих.

Рис. 6. Графики коэффициентов

Ограничения вида эквивалентно традиционному методу ограничения суммарной дисперсии процесса. Введение дополнительных ограничений на попарные суммы и использование одновременно всех трех неравенств позволяет исключить из программы испытаний режимы, оказывающиеся более тяжелыми, чем эксплуатационные.

Рис. 7. (см. скан) Графическое изображение неравенств (3)

В рассмотренном примере, таким образом, удается исключить режимы 1—10 12, 14—16.

При таком подходе значительно облегчаются режимы испытаний и сохраняется гарантия того, что испытанные объекты будут нормально функционировать в эксплуатации,

Во всех случаях, когда это удобно, границы множества С могут быть построены в любой другой форме, однако изложенные подходы обладают рядом удобств связанных с последующими операциями по выбору режимов испытаний.

Все описанные способы построения границ множества С основаны на идее построения такой поверхности в параметрическом пространстве, которая, с одной стороны, ограничивает всю область наблюдавшихся состояний, с другой стороны позволяет утверждать, что в условиях эксплуатации не встретятся состояния, выходящие за пределы области, ограничиваемой этой поверхностью (рис. 8).

Очевидно, что такой подход справедлив при наличии бесконечно большого числа наблюдений вибрационных состояний при эксплуатация. Практически число наблюдений всегда конечно. Поэтому границы всех возможных при эксплуатации вибрационных состояний можно построить лишь в том случае, когда параметры предельных состояний могут быть заключены в рамки некоторых физических ограничений.

Рис. 8. Граница множества эксплуатационных состояний

В общем случае следует говорить о таких границах множества С, которые соответствуют некоторому значению вероятности события, состоящего в том, что за время эксплуатации разу не произойдет выброса параметров вибрационного состояния за пределы области С.

Оценка такой вероятности непосредственно связана с необходимостью дать ответ на третий вопрос: как часто вибрационное состояние объекта может встретиться при эксплуатации.

Распределение вероятностей на множестве эксплуатационных вибрационных состояний. В соответствии с принятой моделью процесса изменения характеристик вибрации объекта на каждом последующем интервале времени возникает новое вибрационное состояние с параметрами, случайным образом выбираемыми из множества С. Кроме того, предполагается, что параметры состояний на соседних или любых других интервалах времени статистически независимы.

Следовательно, модель предполагает наличие некоторой функции распределения или в которой должна содержаться вся необходимая информация о повторяемости эксплуатационных состояний.

Информация о функции распределения может быть представлена в одном из следующих вариантов.

1. Задается тип функции распределения и ее основные параметры.

В частности, предполагая функцию распределения нормальной, для ее исчерпывающего описания достаточно задать все моменты распределения до второго порядка включительно.

Более распространенной является ситуация, когда чаще встречаются слабые вибрации и реже — интенсивные. В этом случае функция распределения ближе к многомерному распределению Релея либо к другому распределению, но также имеющему несимметричный вид.

В подобных случаях может понадобиться задание моментов распределения более высоких порядков.

2. Строится ряд распределения на базе оценок вероятности попадания вибрационного состояния в произвольные области пространства состояний.

В этом случае, разбивая множество эксплуатационных состояний С на произвольных непересекающихся подмножеств и используя статистику имеющихся наблюдений эксплуатационных вибрационных состояний, нетрудно получить оценки вероятностей попадания указанных состояний в каждое подмножество (рис. 9).

Так, если имелось наблюдений вибрационных состояний и из них наблюдалось в подмножестве (очевидно, что , то оценка вероятности

При рациональном выборе формы областей подобный подход может оказаться удобным для последующей организации процесса вибрационных испытаний. Необходимо отметить, что рациональное разбиение множества С на подмножества возможно только после получения информации о свойствах исследуемого объекта, т. е. непосредственно в процессе испытаний.

Однако априори могут быть указаны некоторые рациональные подходы.

1. Если граница множества С построена в виде выпуклого гипермногогранника, то в качестве его рационального разбиения целесообразно использовать эквидистантные многогранники (рис. 10).

Рис. 9. Схема разбиения множества на произвольные подмножества

Рис. 10. Схема разбиения множества в на эквидистантные многогранники

В данном случае границы области задаются неравенствами

2. Если все пространство вибрационных состояний разбить на область, являющуюся квадрантом К многомерного пространства с вершиной в точке все точки которого удовлетворяют условию и на область, которой принадлежат все остальные точки пространства вибрационных состояний, то для каждого значения вектора может быть указана вероятность того, что на данном интервале времени параметры вибрационного состояния находятся в пределах квадранта и соответственно

Оценка этой вероятности может быть получена по формуле

где — число состояний, оказавшихся в пределах области К с вершиной в точке общее число состояний.

Задаваясь различными значениями вектора можно получить различные вероятности:

характеризующие повторяемость тех или иных вибрационных состояний при эксплуатации.

При большом числе точек а также при представительной выборке наблюдавшихся состояний совокупность значений указанных вероятностей представляет, по существу, оценку функции распределения и содержит необходимую информацию о повторяемости эксплуатационных вибрационных состояний.

На практике достаточно ограничиться вполне определенным числом значений если эти значения выбраны правильно.

Для двумерного параметрического пространства идея разбиения области С на пересекающиеся квадранты показана на рис. 11.

Можно использовать и многие другие способы представления информации о том, какова повторяемость в условиях эксплуатации различных вибрационных состояний для данного объекта.

Рис. 11. Схема разбиения множества С на пересекающиеся квадранты

Рис. 12. График колебания объекта в условиях импульсных воздействий

В конечном итоге любой способ представления информации о повторяемости вибрационных состояний при эксплуатации должен обеспечивать получение оценок функции распределения вероятностей либо плотности распределения

Предложенная выше модель вибрационного состояния объекта в виде отрезков стационарных случайных процессов равной длительности со случайными спектральными характеристиками не может быть универсальной и охватывать все варианты вибрационных процессов, встречающихся при эксплуатации различных машин, механизмов и сооружений. Однако она пригодна для большинства объектов, являющихся транспортными средствами или их частями, блоками или элементами. В тех же случаях, когда источники вибрации — силы, порождаемые вращающимися несбалансированными элементами, периодически движущимися деталями и т. п., т. е. когда возникают гармонические, полигармонические или узкополосные вибрации, модели могут быть построены аналогично. Различие заключается лишь в том, что вместо дисперсий в полосах частот необходимо рассматривать соответствующие амплитуды, а вместо корреляционных моментов — фазовые сдвиги.

Однако, учитывая тот факт, что и при гармонических возбудителях всегда существуют случайные факторы, приводящие к непостоянству амплитуды колебаний и соответствующему «размножению» спектра, можно утверждать, что все указанные случаи можно рассматривать как частные случаи изложенной выше модели. Сложнее обстоит дело, когда гипотеза о «медленной» нестационарности вибрации оказывается неверной. Так происходит в тех случаях, когда объект подвергается воздействию ударных или импульсных нагрузок. Типичными примерами является вибрация агрегата самолета в момент его посадки на взлетную полосу, а также технологические процессы, связанные с последовательным действием ударных нагрузок различной интенсивности.

Для этих случаев описанная выше модель не подходит. Однако метод, который использовался при ее построении, может быть применен. Покажем это на следующем примере.

Пусть при действии на объект ударных нагрузок колебания в одной из его точек представляют собой нестационарный процесс (рис, 12).

Параметры конкретной реализации такого процесса возникающей в момент времени могут быть получены, если имеется математическая модель процесса структура и параметры которой адекватно описывают любую его реализацию. Например, можно попытаться представить процесс в виде функции:

тогда параметры полностью описывают данную реализацию.

Вводя пространство параметров для реализаций и имея в виду, что каждая реализация изображается точкой в этом пространстве, можно описанным выше способом построить область С (множество эксплуатационных состояний) и определить повторяемость каждого из них в процессе эксплуатации.