5. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Общие сведения. Случайный процесс (СП) является математической абстракцией, моделью реального физического явления. Случайный (вероятностный, сто хаотический) процесс представляется ансамблем реализаций на кото ром задана вероятностная мера. Различают вероятностные характеристики, получен по одной реализации путем осреднения по времени -текущие).

полученные по ансамблю реализаций путем осреднения по множеству -текущие).

и средние характеристики:

Полной вероятностной характеристикой СП является функция распределения вероятностей или плотность вероятности Одномерная -текущая плотность вероятности представляет характеристику СП (ансамбль реализаций) в определенный момент времени - текущая плотность вероятности и характеризует распределение мгновенных значений одной реализации.

Многомерные вероятностные характеристики. Двумерная плотность вероятности одного процесса характеризует связь двух значений одного процесса в моменты времени характер его изменения во времени. Двумерная

плотность вероятности двух процессов характеризует степень статической связи двух процессов, степень согласованности и характер их поведения во времени. В теории исследуются и многомерные плотности вероятности случайных процессов, однако на практике ограничиваются двумерными характеристиками, возможности которых в представлении свойств случайных процессов достаточно велики.

Другой способ представления вероятностных свойств более удобный для практики, состоит в использовании моментных центральных моментных или обобщенных корреляционных Функций порядка бесконечная совокупность которых обладает той же информативностью, что и плотность вероятности. Последнее следует из разложения в ряд Маклорена соответствующей полной вероятностной характеристики, например и т. п. [20, 21]. Практически ограничиваются корреляционными функциями второго — четвертого порядка, информативность высших корреляционных функций мала. Обобщенные корреляционные функции удобны для представления свойств так как высшие корреляционные функции не зависят от низших, это позволяет классифицировать случайные процессы по порядку нестационарности — порядку корреляционной функции, проявляющей зависимость от времени [21, 22].

Одномерные вероятностные характеристики. Одномерные корреляционные функции называют кумулянтами математическое ожидание процесса, дисперсия процесса, центральный момент, нормированное значение которого характеризует асимметрию плотности вероятности (коэффициент асимметрии) кумулянт четвертого порядка, начиная с которого появляются отличия кумулянтов от центральных моментов; нормированное значение этого кумулянта известно как коэффициент эксцесса характеризующий степень островершинности или плосковершинности одномерной плотности распределения вероятности.

Характеристики процессов различных классов. Нормальный (гауссовский) стационарный случайный процесс полностью характеризуется лишь тремя вероятностными характеристиками, не зависящими от времени: средним значением дисперсией и корреляционной функцией второго порядка или спектральной плотностью связанной с преобразованием Фурье:

Таким образом, равенство нулю кумулянтов высших порядков, является признаком гауссовского процесса.

Более сложным является гауссовский нестационарный процесс, одна или несколько характеристик которого зависят от времени, образуя процесс нестационарный по математическому ожиданию: ; по дисперсии ; по корреляционной функции. или спектральной плотности: Зависимость от времени корреляционной функции может проявляться различным образом, например в изменении во времени положения нулевых значений интервала корреляции и т. п. Соответственно и зависимость параметров спектральной плотности может проявляться в изменении наклона спектра, его уровня, положения экстремальных значений и т. п. Примером явления, характеризуемого моделью случайного процесса с нестационарным спектром, является вибрация механизма его включении (выключении), а двумерное изображение нестационарного спектра представляется сонграммой процесса [23]. Другой сложной моделью является стационарный негауссовский процесс, статистические характеристики которого не зависят от времени, но корреляционные функции и кумулянты третьего или более высокого порядка не равны нулю, Модели негауссовских процессов рассмотрены в гл. XI, раздел 4.

В общем случае процесс может быть нестационарным негауссовским, корреляционные функции (или кумулянты) которого выше третьего порядка не равны нулю, а некоторые из них к тому же являются функциями времени. Конкретные виды негауссовских и нестационарных процессов описываются определенными

феноменологическими моделями—математическими функциями, содержащими статистическом смысле) процессы, такие гауссовский стационарны» процесс, детерминированные функции со случайными или фиксированными парамерами.

Отмеченная классификация процессов относится не к реальным физически процессам, а к их моделям — случайным процессам (функциям), которые могут отржать лишь отдельные свойства реального процесса соответственно ностарлищь целям и задачам экспериментальных исследований.

Список литературы

(см. скан)