3. ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ ДАТЧИКИ КИНЕМАТИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН С ОДНИМ НАПРАВЛЕННЫМ ИНЕРЦИОННЫМ ЭЛЕМЕНТОМ

Уравнения работы датчика. На рис. 5 показана схема датчика с одним инерционным элементом, масса которого равна . С корпусом датчика связана правая прямоугольная система координат Условия работы датчика и обозначения приняты такими, как в предыдущем разделе, с той разницей, что ось — измерительная ось датчика, а центр масс инерционного элемента расположен в точке С, которая лежит на оси и в отсутствие внешних сил совпадает с точкой О, неизменной относительно корпуса датчика. Относительное перемещение инерционного элемента определяется равенством

Уравнения, описывающие работу датчика в системе отсчета, которая связана с поверхностью Земли, легко получить из результатов предыдущего раздела. Для этого в исходных формулах необходимо положить: Из уравнения (5) следует уравнение движения измерительной системы

где диссипативная сила, пропорциональная скорости относительного перемещения инерционного элемента и характеризующая рассеяние энергии в системе; — упругая восстанавливающая сила; — вектор абсолютного ускорения центра масс С относительно начала принятой системы отсчета; — проекция на ось силы инерции центра масс; — проекция силы тяжести инерционного элемента на ось ; — кажущееся ускорение центра масс.

Диссипативная сила может существовать самопроизвольно, и тогда пропорциональность относительной скорости является идеализацией; однако эту силу часто создают искусственно как силу вязкого трения

Рис. 5. Упругоинерцнонная измерительная система прямолинейного датчика с одним направленным инерционным элементом

(воздушное и жидкостное демпфирование) или как силу противодействия движению в магнитном поле, пропорциональную току в резистивной цепи (электромагнитное демпфирование) [6]. Восстанавливающую силу пропорциональную отклонению 6 создают иногда как результат взаимодействия магнитных полей [6].

Рис. 6. Эквивалентные механические схемы прямолинейного датчика с одним инерционным элементом

Часто для удобства физического толкования уравнению (24) ставят в соответствие эквивалентные схемы датчика, изображенные на рис. 6, а и б, на которых упругий элемент имеет эквивалентную жесткость с, а поршень символизирует наличие диссипативной силы (демпфирования в системе). Из уравнения (24) следует, что в режиме акселерометра с малым демпфированием

поэтому выходной сигнал датчика и пропорциональный относительному перемещению инерционного элемента,

может быть представлен через скалярное произведение вещественного вектора чувствительности к абсолютному ускорению и вектора кажущегося ускорения в):

где есть угловая собственная частота измерительной системы датчика.

Таким образом, измеряющая точка датчика, в которой приложен вещественный вектор чувствительности совпадает с центром масе инерционного элемента С.

При большой жесткости упругого подвеса относительное перемещение инерционного элемента незначительно, ускорения точек практически одинаковы и уравнение (27) можно заменить следующим;

т. е. можно считать, что измеряющей точкой является точка О, в которой и приложен вектор чувствительности Из уравнения (28) видно, что чувствительность датчика в режиме акселерометра обратно пропорциональна квадрату собственной частоты. Размерность вектора чувствительности равна

Как следует из (16), развернутое уравнение движения инерционного элемента относительно корпуса датчика, представленное через ускорение точки О, имеет вид

Это уравнение позволяет исследовать динамические свойства датчика при произвольной измеряемой вибрации.

Динамические свойства датчика при измерении поступательной вибрации. В этом случае угловая скорость тела, на котором установлен датчик, в любой момент времени равна нулю ускорения всех точек тела и корпуса датчика одинаковы, а проекция ускорения свободного падения на ось неизменна:

Под влиянием силы тяжести инерционный элемент получает статическое смещение

Понимая далее под только перемещение, обусловленное поступательным ускорением из уравнения (30) получим

где есть проекция ускорения тела на ось Преобразование Лапласа уравнения (31) дает

где комплексная переменная.

Чувствительности измерительной системы датчика. Из уравнения (32) для измерительной системы находят операторную чувствительность к ускорению по перемещению

Поскольку при поступательном движении проекции ускорения а, скорости и перемещения тела (см. гл. I) на любую его ось, например связаны условиями

также учитывая, что для относительной скорости

для измерительной системы можно определить также операторные чувствительности:

к скорости по перемещению

к перемещению по перемещению 6:

к ускорению по скорости V:

к скорости по скорости V:

к перемещению по скорости V:

Чувствительности измерительной системы к различным кинематическим величинам по перемещению и скорости V приведены в связи с тем, что используемые в датчиках инерционного действия физические преобразователи реагируют на относительное перемещение или относительную скорость V (см. гл. VIII, IX).

На рис. 7 приведены схемы датчиков инерционного действия с параметрическими и генераторным механоэлектрическими преобразователями. В параметрических преобразователях изменения индуктивности емкости С и сопротивления пропорциональны относительному перемещению инерционного элемента. В генераторном электродинамическом преобразователе генерируемое напряжение пропорционально скорости катушки, укрепленной на инерционном элементе, относительно магнита, прикрепленного к корпусу датчика пропорционально относительной скорости V).

Поскольку

то четыре выражения определяют шесть операторных чувствительностей.

Знание операторных чувствительностей позволяет найти реакцию измерительной системы как функцию времени, если измеряемая величина задана через свое изображение по Лапласу.

Рис. 7. Схемы прямолинейных датчиков инерционного действия с преобразователями: а — параметрическим индуктивным, б - параметрическим емкостным; в — параметрическим резистивным, г - генераторным электродинамическим

Подстановка в выражения для операторных чувствительностей вместо комплексной переменной аргумента (о дает выражения для комплексных чувствительностей измерительной системы. Например, из уравнения (33) находят комплексную чувствительность к ускорению по перемещению:

Комплексные чувствительности позволяют найти установившуюся реакцию на измеряемую гармоническую величину.

Действительно, если виброперемещение гармоническое:

( угловая частота, частота, Гц), то установившаяся реакция измерительной системы имеет вид Из уравнения (43) имеем

где комплексные гармонические перемещение и ускорение:

соответствующие комплексные амплитуды.

Из (44) находим амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) чувствительности

и фазочастотную характеристику чувствительности

Из уравнений (45) и (46) следует, что при отсутствии демпфирования в системе резонанс имеет место на собственной частоте

при этом

При описании частотных характеристик часто используют относительные вели чины — относительное демпфирование и частотное отношение , которые позволяют задать частотные характеристики в нормированном виде.

Относительное демпфирование численно равно отношению коэффициента сопротивления к критическому коэффициенту сопротивления системы

где значение коэффициента сопротивления, при котором система перестает колсб тельной. Относительное демпфирование есть отношение коэффициента демпфирования системы к ее критическому коэффициенту демпфирования

Частотное отношение — безразмерная величина, равная отношению частоты к собственной частоте

Так, уравнения (45) и (46) можно представить в следующем внде:

Иногда для описания частотных характеристик используют также добротность системы величину, обратную удвоенному относительному демпфированию истемы:

Так, уравнения (51) и (53) можно представить в следующем виде:

Аналогично можно найти частотные характеристики комплексной чувствительности к перемещению по перемещению из уравнения (38):

Откуда следует, что

На рис. 8 представлены нормированные частотные характеристики указанных выше чувствительностей измерительной системы для различных значений На рис. 9 показана векторная диаграмма комплексных амплитуд для случая, когда причем стрелка указывает направление поворота векторов с ростом Из представленной векторной диаграммы хорошо прослеживается ход фазочастотных характеристик.

Частотные характеристики имеют участки, где чувствительность мало изменяется с изменением частоты Поэтому характеристику используют в датчиках ускорения, а характеристики в датчиках перемещения и скорости соответственно.

Чувствительности и частотные характеристики датчиков. В датчике ускорения в дорезонансном режиме а в датчиках перемещения и скорости в заре зонансном режиме полярность выходного сигнала и должна соответствовать полярности измеряемой величины. Для этого необходимо, чтобы выходной сигнал датчиков ускорения и перемещения имел знак, противоположный знак относительного перемещения:

а датчика скорости — противоположный знаку относительной скорости

В этом случае в соответствии с уравнениями (42), (51), (53), (58) и (59) чувствительности датчиков ускорения скорости и перемещения имеют вид

(кликните для просмотра скана)

Следовательно, при малом демпфировании датчики имеют фазовый сдвиг в рабочем диапазоне частот близкий к нулю.

Нормированные амплитудно-частотные характеристики и фазо-частотные характеристики представлены на рис. 10 и 11 соответственно. Построение кривых как функций переменной

позволяет совместить кривые а фазочастотные характеристики представить кососимметричными относительно Фазочастотные характеристики пересекаются в общей точке при причем крутизна кривых в этой точке пропорциональна добротности измерительной системы

Рис. 9. Векторная диаграмма комплексных амплитуд при поступательной гармонической вибрации, когда

Следовательно, добротность можно определить как половину крутизны фазовой характеристики в точке Это определение позволяет распространить понятие добротности на нерезонансиые системы [15] и дать для них практический способ нахождения ее значения.

Реальные АЧХ и ФЧХ датчиков обусловливают линейные искажения сигнала: гармонические сигналы получают различное изменение масштаба и фазовый сдвиг.

Амплитудная погрешность Непостоянство АЧХ приводит к амплитудной погрешности измеряемых гармонических сигналов. Амплитудная погрешность датчиков ускорения в рабочем диапазоне частот в соответствии с уравнением (60) выражается через и может быть задана следующим приближенным выражением [15]

Отсюда следует, что если При появляются положительные амплитудные погрешности, а при отрицательные. Если допустимая амплитудная погрешность порядка то лучше брать так как при этом получается более широкий рабочий диапазон частот, в котором сначала допускаются положительные погрешности, а затем отрицательные. Однако большинство датчиков ускорения имеют малое демпфирование и для работы с допустимыми погрешностями их собственная частота должна быть значительно выше частоты измеряемого сигнала.

Датчики ускорения с малым демпфированием, для которых и

обычно характеризуют двумя значениями верхней границы рабочего диапазона частот, отвечающими При при

Амплитудная погрешность датчиков перемещения и скорости в рабочем диапазоне частот в соответствии с уравнениями (61) и (62) выражается через и приближенно описывается равенством

Амплитудная погрешность минимальна при положительна при и отрицательна при

(кликните для просмотра скана)

Датчики перемещения и скорости с малым демпфированием для которых

аналогично можно характеризовать двумя значениями нижней границы рабочего диапазона частот, отвечающими При при

Рабочие диапазоны частот датчиков с малым демпфированием с указанными выше границами и соответствующими амплитудными погрешностями показаны на рис. 10 заштрихованными участками.

Фазовая погрешность. Фазовая погрешность датчика характеризуется вносимым им фазовым сдвигом гармонического сигнала На рис. 12 видно, что наименьшие фазовые погрешности в рабочем диапазоне частот имеют датчики с малым демпфированием Только датчики ускорения и лишь при имеют линейные фазовые характеристики, выходящие из начала координат (пропорциональный частоте фазовый сдвиг). Последнее необходимо для неискаженной передачи формы сигнала, имеющего широкий спектр частот, начиная от 0. В широком диапазоне частот линейный фазовый сдвиг присущ только фазовым характеристикам, у которых

Рис. 12. Нормированные фазочастотиые характеристики как функции переменной

Выше основное внимание уделено датчикам с дорезонансным и зарезонансным режимами работы упругоинерционной системы, поскольку они наиболее распространены. Использование при измерениях других режимов работы подробно рассмотрено в работе [6].

Динамические свойства датчика при измерении вибрации общего вида. Важно знать, в каком случае характеристики датчика, полученные при испытаниях поступательной вибрацией, справедливы при измерении вибрации общего вида. Обозначив проекцию кажущегося ускорения на ось в уравнении (30) через а представим это уравнение в виде

или

При заданном виде это уравнение может трактоваться как уравнение системы с параметрическим возбуждением. Поэтому юлько при выполнении условия

и наличии достаточного демпфирования в системе можно не опасаться потери устойчивости от параметрического возбуждения [6]. Отсюда, например, следует, что если датчик установлен на вращающейся детали и его измерительная ось перпендикулярна оси вращения, то собственная частота датчика в значительной степени должна превосходить угловую скорость вращения детали.

Для измерений важно установить допустимые значения угловых колебаний.

Из сравнения уравнения (63) с уравнением (31) следует, что при одном и том же законе изменения во времени и движение инерционного элемента почти такое же, как и при поступательной вибрации, если в уравнении (63) можно пренебречь членом характеризующим осестремительное ускорение на относительном перемещении. В этом случае характеристики датчика, полученные при измерении поступательной вибрации, с ограничениями пригодны и для измерения вибрации общего вида. Для датчика любого вида условия пренебрежения членом определяют допустимые значения угловой вибрации.

Для датчика ускорения с дорезонансным режимом работы и верхней граничной частотой которого определяющим является упругое сопротивление, исходя из погрешности а регистрации амплитуды гармонической вибрации можно потребовать выполнения условия

или

Условие точности измерений (66) при а 1 обеспечивает и условие устойчивости работы (65). В зависимости от спектра угловой скорости требования к допустимым значениям угловой вибрации различны. При гармонической угловой вибрации, например, когда

для датчиков с типовым демпфированием погрешность измерения гармонического ускорения точки О

по сравнению с поступательным движением не превысит по амплитуде и по фазе 3°, если согласно уравнению (66)

Отсюда следует, что амплитуда угловой вибрации на частоте не должна превышать значения

При допустимая амплитуда рад 57°). Для датчиков перемещения и скорости с зарезонансным режимом работы и нижней граничной частотой определяющим для нахождения допустимых значений угловой вибрации является условие устойчивости (65). У верхней границы рабочего диапазона частот допустимые значения угловой вибрации малы. Поэтому при наличии Угловой вибрации для измерения скорости и перемещения предпочтительнее использовать датчики ускорения с последующим одно- или двухкратным интегрированием сигнала соответственно.

Таким образом, если угловая вибрация не превосходит определенных значений, то прямолинейные датчики перемещения, скорости и ускорения при измерении вибрации общего вида можно характеризовать векторами комплексной и операторной чувствительности приложенными в измеряющей точке датчика и определяемыми только параметрами его измерительной системы.

На рис. 13 показана схема датчика с вектором комплексной чувствительности на некоторой частоте причем штриховой линией показан вектор мнимой части комплексного вектора чувствительности (см. раздел 3 гл. I)

В общем случае вектор чувствительности может не совпадать с направлением измерительной оси. Применение векторов комплексной и операторной чувствительности позволяет находить сигнал датчика, если известны преобразования Лапласа, Фурье или Гильберта измеряемого векторного процесса (см раздел 3 гл. I).

Рис. 13. Расположение составляющих комплексного вектора чувствительности относительно корпуса датчика: О — измеряющая точка; соответственно вещественная и мнимая части комплексного вектора