7. НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ

Предварительные замечания. Исследование вопросов прочности деталей машин и конструкций при вибрации связано с необходимостью измерения переменных механических напряжений и деформаций в различных точках этих деталей. В данном разделе приведены основные понятия и зависимости, необходимые для задач измерения деформаций и напряжений. Более подробно вопросы напряженного и деформированного состояний тел рассматриваются в руководствах по теории упругости [1, 10, 18] (см. также том I, гл. VIII, раздел 2).

Рис. 16. Напряжения в точке выбранного сечения тела

Рис. 17. Малый кубический элемент тела с действующими на гранях компонентами напряжений

Напряжения. Напряжением называют интенсивность внутренних сил в иеко торой точке тела и оценивают силой, приходящейся на единицу площади. Единицей напряжения является паскаль, Для тела, находящегося в равновесии под действием сил (рис. 16), в любой точке условного плоского сечения с нормалью существует вектор полного напряжения который может быть разложен на нормальное напряжение перпендикулярное сечению, и касательное напряжение действующее в плоскости сечения:

На рис. 17 показан малый кубический элемент тела в точке с гранями, параллельными координатным осям Для каждой грани показаны действующие на нее компоненты напряжений, принимаемые за положительные. Касательные напряжения, разложены на два компонента, параллельные координатным осям. Первый индекс напряжений указывает направление нормали к рассматриваемой грани, второй индекс касательных напряжений — направление компонента напряжения. Нормальное напряжение считается положительным, если оно вызывает растяжение элемента. Для гралей, растягивающие напряжения которых совпадают с направлением координатных осей, положительные компоненты касательных напряжений также совпадают с направлением координатных осей. Для противоположных граней положительные компоненты касательных напряжений направлены в обратную сторону.

Три нормальных напряжения и шесть касательных задают симметричный тензор напряжений в точке

Таким образом, для описания напряжений, действующих на координатных плоскостях, проходящих через любую точку, достаточно иметь шесть величин называемых компонентами напряжений в этой точке.

Для площадки, проходящей через ту же точку на рис. 17 и имеющей нормаль с направляющими косинусами где вектор полного напряжения имеет следующие компоненты:

а нормальное напряжение

Площадки, на которых действуют только нормальные напряжения, а касательные напряжения равны нулю, называют главными площадками. Действующие на этих площадках напряжения называют главными, а их направления — главными направлениями натяжений. В общем случае через любую точку тела проходят три взаимно перпендикулярные площадки, которым отвечают главные напряжения напряжения в рассматриваемой точке являются корнями уравнения

где инварианты напряжений:

Максимальные касательные напряжения определяются выражением

и действуют по площадке, перпендикулярной второй главной площадке и делящей пополам угол между максимальным и минимальным главными напряжениями.

Деформации. Деформацией сплошного тела называют такое изменение положений его точек, при котором изменяются расстоячия между ними. Деформация, выраженная в единицах длины, называется абсолютной. Отношение абсолютной Деформации к некоторому начальному размеру назывчюг относительной деформацией. Относительные деформации делят на относительные удлинения и относительные деформации сдвига. Деформация в плоскости складывается из двух деформаций удлинения и одной деформации сдвига. На рис. 18 показано влияние деформации удлинения в направлении оси х на деформацию линейного элемента Длины расположенного под углом а к оси х. При деформации точка А перемечается в точку А и при малых деформациях

так как

Аналогично при деформации удлинения в направлении оси у этот линейный элемент получает деформацию

Рис. 18. График влияния деформации удлинения в направлении оси х на деформацию линейного элемента, расположенного под углом а к оси х

Рис. 19. График влияния деформации сдвига у на деформацию линейного элемента, расположенного под углом а к оси х

На рис. 19 показано влияние деформации сдвига уху в плоскости на деформацию в линейного элемента:

так как

Деформация сдвига уху определяет искажение прямого угла образованными прямыми, первоначально совпадающими по направлению с осями х и у. Результирующая относительная деформация рассматриваемого линейного элемента в силу малости деформаций может быть найдена методом суперпозиции!

При объемном деформированном состоянии относительная деформация малого линейного элемента в направлении имеющем направляющие косинусы в системе координат [18]:

где относительные удлинения (сжатия) в направлении осей ухи, относительные деформации сдвига в плоскостях Положительными считают удлинения и деформации сдвига, которым отвечает уменьшение ранее прямого угла между положительно направленными прямыми. Указанные шесть компонентов деформации полностью характеризуют деформацию в выбранной точке тела и позволяют найти удлинение в любом направлении и изменение угла между любыми двумя направлениями [18]. Эти шесть величин определяют элементы

симметричного тензора деформаций

В любой точке тела заданной деформации всегда соответствуют три взаимно перпендикулярных направления, называемых главными направлениями (осями) деформаций, углы между которыми остаются прямыми и после деформации Деформации удлинений в этих направлениях называют главными деформациями. Прямоугольный параллелепипед гранями, параллельными главным плоскостям, не испытывает деформаций сдвига и остается прямоугольным после деформации. Любая деформация в точке может быть представлена как результат трех главных деформаций. Главные деформации в рассматриваемой точке являются корнями уравнения

где (относительное изменение объема), бис есть инварианты деформаций

Направляющие косинусы главных направлений деформаций находят из следующей системы уравнений подстановкой вместо последовательно главных деформаций

Для плоского напряженного состояния и плоской деформации и

причем положительные углы и отсчитывают от оси х к оси у.

Для однородных и изотропных тел главные направления деформаций совпадают с главными направлениями напряжений.

Связь между напряжениями и деформациями. Для изотропного упругого тела при малых деформациях обобщенный закон Гука устанавливает линейные соотношения между компонентами деформации и компонентами напряжений

содержащие модуль упругости (модуль Юнга) коэффициент Пуассона и модуль сдвига напряжения через деформации выражаются равенствами

где

На рис. 20, а показана деформация стержня, работающего на растяжение, а на рис. 20, б диаграммы напряжений и деформаций в точке стержня для различных направлений в плоскости, проходящей через ось В этом случае составляющие деформации

Рис. 20. Эффект Пуассона (а) при деформации растяжения стержня и диаграммы напряжений и деформаций (б) в точке стержня в плоскости, проходящей через ось х

На рис. 20, б видно, что в направлении (перпендикулярном оси напряжения нет, а деформация есть, в направлении II—II напряжение есть, а нет деформации.

Измерение деформаций и напряжении. Деформации измеряют непосредственно, а напряжения — косвенно, используя расчет по формулам связи напряжений и деформаций. Устройства для непосредственного измерения деформаций называют тензометрами. Среди тензометров наиболее распространены резистшные

тензодатчики для измерения деформации удлинения в заданном направлении (см. раздел 3 гл. VIII и раздел 6 гл. IX). При применении таких датчиков измерения основаны на использовании зависимостей, описываемых уравнениями (122) и (123). Уравнения (122) используют при измерении поверхностных деформаций, при измерении компонентов деформации при объемном напряженном состоянии.

При измерении поверхностных деформаций обычно предполагают, что на площадке к которой прикреплены датчики, напряжения отсутствуют поэтому в соответствии с уравнением (122) деформированное состояние в точке полностью определяется значениями

Рис. 21. Направления измеряемых удлинений в типовых тензометрнческих розетках: а — розетка типа «дельта», б - прямоугольная розетка; в — розетка типа -дельта»

Когда главные направления известны, то при измерениях используют Два датчика. Если же главные направления неизвестны, то для определения и необходимо решить систему из трех уравнений вида (122), которые получают при измерении трех относительных удлинений в различных направлениях. При измерениях обычно используют стандартные наборы датчиков, называемые розетками. Ниже для типовых розеток (рис. 21) приведены выражения для главных деформаций и напряжений Для максимальных деформации и напряжения при сдвиге и для угла между первым главным направлением и осью х, представленные в функции от измеряв деформаций [4, 22]. Для розетки типа «дельта»

Для прямоугольной розетки

(см. скан)

Для розетки типа «Т-дельта»

(см. скан)

При измерении динамических деформаций и напряжений приведенные выражения позволяют вычислить искомые величины для каждого момента времени. Для измерения объемной деформации в точке в тело помещают розетку из шести датчиков, что позволяет получить систему из шести независимых уравнений вида (123) [21]. Следует указать также, что при исследовании полей напряжений и деформаций существенную помощь оказывает применение оптических методов — метода фотоупругости и метода муара [18, 22].

Список литературы

(см. скан)

(см. скан)