Глава XI. АППАРАТУРНЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА ПРОЦЕССОВ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СТАТИСТИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ

Целесообразность применения вероятностных методов. При измерениях вибраций лишь в простейших случаях возможны прямые измерения нескольких параметров процесса, например амплитуды, частоты, фазы гармонического колебания. В большинстве случаев приходится прибегать к разложению сложного процесса на простые компоненты или характеризовать процесс функцией, представляющей свойства процесса в обобщенной форме, т. е. выполнять анализ процесса.

Наиболее общие методы анализа процессов основаны на их вероятностных представлениях (см. гл. III, раздел 5). Вероятностный подход позволяет построить методологию измерений на основе теории случайных процессов, связать результаты эксперимента с теоретическими исследованиями, совершенствовать методы измерений в направлении получения новой информации об исследуемом процессе. Реализация этих возможностей ценна при исследовании причин вибрации, диагностике состояния механизмов, анализе машин как источников шума и т. п.

Вероятностные методы целесообразно применять для анализа, описания, представления физических процессов и полей в следующих ситуациях:

1) при исследовании процессов, носящих случайный характер, ход котооых во времени невозможно предсказать;

2) при исследовании процессов, форма которых описывается простой аналитической зависимостью, но параметры процесса случайным образом изменяются во времени (модуляция амплитуды, частоты, фазы гармонического колебания или другого вида периодического процесса);

3) при исследовании детерминированных, неслучайных колебаний, параметры которых являются неинформагивными для поставленной задачи, когда необходимо отразить инвариантность результата по отношению к этим параметрам.

Термином «случайный процесс» обозначают математическую абстракцию, модель реального физического процесса, представляемую в виде ансамбля реализаций. Реально существуют физические процессы, которые можно описать той или иной вероятностной моделью — случайным процессом определенного класса.

Выбор вероятностной модели при измерениях. Вероятностная модель, как и любая другая, представляет одно определенное свойство (или определенную ограниченную совокупность свойств) реального физического процесса, которое избирает исследователь для решения поставленной задачи. Выбор вероятностной модели — это фактически выбор способа анализа и состава требуемых для решения задачи статистических характеристик процесса, которые приведены ниже.

1. Анализ по ансамблю реализаций соответствует принятию априорной модели нестационарного случайного процесса, ибо только путем усреднения по множеству можно получить ту или иную функцию времени, текущую статистическую характеристику случайного процесса.

2. Анализ по одной реализации соответствует принятию априорной модели стационарного эргодического процесса и применяется для определения корреляционных, спектральных функций процесса или плотности вероятности и ее числовых характеристик, не зависящих от времени.

3. Ограничение состава измеряемых характеристик статистическими характеристиками первого и второго порядка (математическое ожидание, дисперсия и корреляционная функция второго порядка или спектральная плотность процесса) означает принятие модели нормального (гауссовского) процесса в дополнение к принятым моделям стационарного или нестационарного случайного процесса.

Методы формирования ансамбля реализаций. В случае применения модели нестационарного процесса необходимо выбрать метод формирования ансамбля реализаций. В теории случайных процессов под реализацией понимают функцию, получаемую в результате одного опыта. Понятие одного опыта находится вне теории вероятностей, и экспериментатор вправе выбрать свое определение, соответствующее условиям задачи. С учетом этого можно указать на следующие способы получения отдельных реализаций:

1) одновременное включение идентичных исследуемых систем, что наиболее адекватно методам теории случайных процессов, но редко осуществимо на практике;

2) последовательное включение одной исследуемой системы раз наиболее употребительный способ, если целью измерений являются исследование неустановившихся явлений, сопровождающих включение (выключение) механизма, или определение отклика системы на одиночный удар и т. п.;

3) деление непрерывного процесса или его записи на статистически эквивалентных отрезков, каждый из которых принимается в ктчестве реализации случайного процесса, применяется при исследовании периодически повторяющихся явлений, например при изменении интенсивности вибрации за один оборот двигателя, определении средней формы колебаний системы за один период ее работы и т. д.

Вторая задача, которую необходимо решить при определении временных характеристик процесса по ансамблю реализаций, — это осуществление упорядоченной привязки получаемых реализаций к единой оси времени. Здесь особенность заключается в том, что искомая функция времени скрыта шумами, случайными флюктуациями ибо если это не так, то и не возникает необходимости в применении вероятностных методов анализа и искомая функция может быть зарегистрирована непосредственно. Поэтому для привязки реализаций к временной оси приходится

прибегать к использованию специальных импульсов синхронизации (рис. 1), получаемых отдатчика, установленного на механизме. Требуемую характеристику можно определять либо в реальном масштабе времени, тогда запоминается результат накопления текущих значений статистической характеристики, либо ретроспективно, тогда вначале запоминается выборочный ансамбль реализаций. В первом случае требуется высокое быстродействие статистического анализатора, во втором случае необходим большой объем памяти, скорость же анализа может быть небольшой.

Точность привязки к оси времени должна быть достаточно высокой, в противном случае возникают погрешности измерений, проявляющиеся в сглаживании искомой функции времени на интервале случайных флюктуаций начальных моментов времени отдельных реализаций [20].

Рис. 1. Схема измерений характеристик нестационарных процессов: 1 — объект: 2 — запоминающее устройство; 3 — блок управления; 4 — вычислительный блок, 5 — регистрирующее устройство

Анализ по одной реализации процесса. При анализе процессы рассматривают как стационарные в двух случаях

1) когда изменения характеристик процесса являются малыми или настолько медленными, что за время измерений их можно считать практически неизменными;

2) когда изменения процесса быстрые, т. е. период изменений характеристик мал по сравнению с длительностью реализации но для решения поставленной задачи достаточно знать средние (за период) характеристики.

Вследствие стационарности и эргодичности процесса его характеристики можно определить по одной его реализации путем применения операторов усреднения по времени. При этом эргодичность постулируется из физических соображений: нас интересуют характеристики системы при неизменных внутренних и внешних условиях ее функционирования, так что многократные измерения привели бы к статистически однородному ансамблю реализаций.

Стационарные (в статистическом смысле) вибрации механических систем представляются оценками вероятностных характеристик, которые находят путем усреднения по времени Они обладают следующими свойствами:

1) математическое ожидание процесса равно нулю:

так как измеряются лишь колебания системы (флюктуации) относительно ее среднего значения, а виброизмери тельный тракт содержит усилители переменного тока, не пропускающие постоянной составляющей даже при ее появлении на выходе датчика;

2) дисперсия характеризует среднюю мощность процесса и с учетом записывается в виде

где черта сверху означает усреднение по времени;

3) автокорреляционная функция представляет информацию о динамике (характере и скорости изменения значений во времени) колебательного процесса;

где нормированная корреляционная функция;

4) кумулянты высших порядков характеризуют отклонение процесса от гауссовского

При оценки сходятся в среднем квадратическом к истинным значениям вероятностных характеристик.

Погрешности статистических измерений. Вследствие конечной длительности реализаций и конечного их числа результаты измерений, называемые оценками вероятностных характеристик, обладают случайной (флюктуационной и систематической погрешностью (смещенностью результата Поэтому дисперсия суммарной ошибки может быть представлена двумя составляющими:

где дисперсия флюктуационной погрешности, проявляющейся в форме случайных отклонений измеряемой характеристики от ее среднего значения

дисперсия смещенности результата, проявляющейся в форме систематического отклонения оценки вероятностной характеристики от истинного ее значения и возникающей вследствие конечной разрешающей способности анализатора на конечном интервале времени

Для практики ценными являются лишь алгоритмы, приводящие к состоятельным оценкам вероятностных характеристик, случайные флюктуации которых снижаются с увеличением объема выборки:

где а — коэффициент, определяемый видом измеряемой вероятностной характеристики; полоса частот процесса.

В общем случае погрешность измерений, как и любая другая случайная величина, характеризуется плотностью вероятности, а надежность (достоверность) измерений — доверительным интервалом (областью возможных значений измеряемой величины вблизи ее среднего значения) и доверительной вероятностью (вероятностью попадания результата измерений в доверительный интервал). При достаточно большом числе усреднений закон распределения ошибок измерений близок к нормальному, для которого характерна следующая связь между доверительной вероятностью и доверительным интервалом, выраженным в значении дисперсии ошибки:

где оценка и истинное значение вероятностной характеристики.