Глава XV. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ

1. ХАРАКТЕРИСТИКИ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ

Понятие свободных и вынужденных колебаний введено в гл. III, V и VI тома 1 для линейных систем с конечным числом степеней свободы. В технике колебания упругих распределенных систем представляют колебаниями систем с конечным числом степеней свободы (и обычно решение технических задач ограничено определенным диапазоном частот).

В этой главе рассмотрены характеристики собственных колебаний (частоты, формы, обобщенные массы и декременты), которые необходимо определять экспериментальным путем и которые служат для полного описания вынужденных колебаний реальной упругой конструкции. Экспериментальное определение характеристик осуществляется главным образом в режиме гармонических колебаний при резонансных испытаниях с многоточечным возбуждением. Эти испытания проводят с помощью определенных методических приемов, при использовании современного многоканального оборудования.

Уравнения свободных колебаний. В большинстве практических случаев колебания исследуемой реальной механической системы близки к колебаниям некоторой идеализированной линейной системы с эквивалентным вязким трением. Исключение представляют специальные случаи, когда реальная конструкция содержит элементы с резко выраженными нелинейными свойствами. Их следует рассматривать отдельно. Целесообразен подход к реальной распределенной конструкции как к идеализированной системе, с конечным числом степеней свободы, имеющей определенные собственные характеристики, которыми с достаточной точностью определяют колебания исследуемой конструкции, поскольку практически исследуют ограниченное число собственных тонов. Таким образом, если принять характер демпфирования «вязким» (силы трения пропорциональны скорости), то предметом рассмотрения является линейная система с степенями свободы, дифференциальное уравнение движения которой можно представить в следующем виде:

где соответственно матрицы инерции, вязкого демпфирования и жесткости; вектор обобщенных координат, в частности, перемещений отдельных точек.

Уравнения (1) описывают малые свободные колебания около положения равновесия. При уменьшении затухания (элементы поведение системы приближается к поведению консервативной системы, свободные колебания которой описываются уравнением

его решений имеют следующий вид (см. [16]):

значения действительных определяются начальными условиями, (элементы модальной матрицы V) — безразмерные коэффициенты распределения амплитуд (действительные числа) — определяют форму колебаний. Собственные колебания одной частоты происходят без сдвига фаз во всех координатах, и соотношения амплитуд колебаний этой частоты определяются величинами не зависящими от начальных условий и способа возбуждения. Если амплитуда колебаний задана одной

из координат с частотой то колебания остальных имеют определенные амплитуды.

Таким образом, собственные частоты и коэффициенты распределения амплитуд и являются теми характеристиками, которые необходимо определить экспериментально. Удобно свободные колебания системы представить суммой собственных каждое из которых является гармоническим колебанием нормальной координаты Последнюю можно определить как координату, совершающую гармонические колебания лишь частоты Амплитуда нормального колебания определяется амплитудой колебаний (той же частоты) в одной из обобщенных координат, например Обычные, физические, координаты выражаются через нормальные в соответствии с (3).

Для консервативной системы собственный тон характеризуется совокупностью собственной частоты, формы, и, следовательно, для каждого собственного тона может быть определена обобщенная масса и обобщенная окесткость (понятие собственного тона с некоторыми ограничениями распространяется на неконсервативные системы). Величина равна удвоенной полной энергии системы при колебаниях по тону.

Очевидно, каждое нормальное колебание имеет форму собственного колебания (частоты а уравнения, описывающие рассматриваемую систему в нормальных координатах, записываются гораздо проще. Для консервативной системы они определяются подстановкой (3) в (2) и умножением на (транспонированную модальную матрицу) слева:

где диагональные (в силу ортогональности собственных векторов) матрицы обобщенной массы и жесткости с элементами:

Исследуемая система с степенями свободы распадается на независимых с одной степенью свободы каждая и решениями в виде выражений (3).

Аналогичным образом уравнение (1) можно формально также преобразовать к нормальным координатам консервативной системы (2):

где

Во многих случаях матрицу можно считать диагональной (при силах демпфирования, пропорциональных упругим или инерционным, матрица очевидно, всегда диагональная), поскольку диссипативные связи между собственными тонами достаточно малы. Тогда система уравнений (6) распадается на ряд отдельных независимых уравнений для каждого собственного тона, описывающих колебания системы с одной степенью свободы, элементами которых являются скалярные величины:

Преимущества перехода к нормальным координатам консервативной системы очевидны: можно анализировать колебания по каждому собственному тону независимо, а исследование колебаний сводится к простому и наглядному рассмотрению одностепенных систем. О комплексных нормальных координатах неконсервативной системы см. работу [16].

Уравнения вынужденных колебаний. В первую очередь представляют интерес два вида колебаний физических систем — свободные и вынужденные. Свободные колебания описываются уравнениями (1), (6) с нулевой правой частью, вынужденные — при наличии внешних возмущений — такими же уравнениями, отличающимися членом в правой части, соответствующим вынуждающей силе. В физических

координатах [уравнение (1)] F - вектор сил, в нормальных координатах [уравнение (6)] он преобразуется в вектор обобщенных сил компонента которого пропорциональна работе сил возбуждения на перемещениях по форме собственного тона:

Учитывая, что произвольное периодическое внешнее воздействие можно представить разложением в ряд Фурье суммой синусоидальных колебаний с кратными частотами, первоочередной интерес представляет случай синусоидального возбуждения с одной частотой со:

При использовании метода комплексных амплитуд [16] уравнение вынужденных колебаний системы (1) для комплексных обобщенных координат принимает вид

что в случае силы возбуждения дает решение в виде реальной части

Для расчета вынужденных колебаний в системе (8) необходимо знать: 1) собственные частоты обобщенные массы или обобщенные жесткости (поскольку они связаны значением собственной частоты сооу); 3) обобщенные коэффициенты сопротивления или безразмерные значения — логарифмические декременты коэффициенты распределения амплитуд или формы собственных колебаний — векторы поскольку последние являются столбцами модальной матрицы V, используемой для перехода от физических координат к нормальным и для определения обобщенных сил Следует еще раз подчеркнуть, что речь идет о собственных формах консервативной системы, которые служат для описания колебаний реальной системы с трением. Форма колебаний неконсервативной системы описывается двумя векторами, сдвинутыми по времени на четверть периода и представляющими бегущую волну, в противоположность стоячим волнам, представляемым векторами