4. ИЗМЕРЕНИЯ ХАРАКТЕРИСТИК ПРОЦЕССОВ, ПРЕДСТАВЛЯЕМЫХ МОДЕЛЯМИ НЕГАУССОВСКИХ И НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ

Отклонения процесса от гауссовского могут быть описаны той или иной феноменологической моделью, представляющей сложный процесс сформированным из простых (в статистическом смысле) процессов, таких как стационарный гауссовский шум и детерминированные функции с постоянными или случайными Параметрами. Анализ характеристик иегауссовости следует проводить, как и корреляционный анализ, в смежных (например, октавных) полосах частот с целью выявить и отразить изменение статистических свойств процесса с частотой.

Модели сложных процессов. Рассматриваемые ниже модели представляют негауссовские стационарные процессы.

1. Нелинейное преобразование гауссовского стационарного процесса

Процесс характеризуется неравными нулю кумулянтами четных или нечеттых порядков в зависимости от вида нелинейного преобразования. При фильтрации такого процесса коэффициенты асимметрии и эксцесса малы вследствие нормализующего действия фильтров

где процесс после фильтрации; — интервал корреляции процесса постоянная времени фильтра.

2. Сумма гауссовского шума и гармонических составляющих

Пслагая начальную фазу случайной (в пространстве реализаций процесса) и равномерно распределенной в пределах периода колебаний, получаем коэффициенты асимметрии и эксцесса с учетом фильтрации процесса:

где да — превышение уровня гармонических колебаний над сплошной частью спектра в полосе число гармонических колебаний в полосе

При наличии только одной гармоники в полосе получим при увеличении числа гармоник и наличии шума

3. Амплитудио-модулированиый гауссовский шум

где коэффициент модуляции; модулирующая функция, нормированная таким образом, что

Модель (38) представляет стационарный случайный процесс лишь в случаях, когда модулирующая функция является стационарной (случайной) либо периодической со случайной (в пространстве реализаций), равномерно распределенной в пределах периода фазой. Тогда

Проанализируем статистические характеристики процессов, представляемых рассмотренными моделями Анализ показывает, что при оговоренных условиях все их характеристики не зависят от времени, следовательно, все три модели представляют стационарные процессы.

Гауссовский процесс а также процессы имеют сплошные спектры; процесс кроме сплошной част содержит дискретные составляющие на частотах сок Таким образом, по характеру спектра выделяется процесс модели остальных процессов не могут быгь установлены по результатам спектрального анализа.

Измеряя коэффициенты эксцесса в полосах частот и коэффициенты асимметрии и эксцесса процессов, получаем, что

для полос гауссовского шума и процесса в целом

для полос процесса имеем

для процесса или

для процесса в тех полосах, которые содержат гардгонически составляющую,

для полос модулированного шума и процесса в целом

Таким образом, исследование характеристик негауссовости процессов позволяет различать модели процессов в тех случаях, когда они не отличаются по виду спектров. Это свойство является ценным при выявлении различных источников колебаний, при диагностике состояния механизма и других исследованиях вибраций.

Определение вклада источников методом периодической огибающей. Особенно важную информацию об источнике несет модулированный шум, образующийся, например, при периодическом ударном возбуждении вибрации (в дизелях, компрессорах, помпах), при кавитациях рабочих органов насосов и в других случаях. Измерение модуляционных характеристик позволяет, в частности, выявить вклад источников модулированных вибраций или шума в суммарное поле.

Возможность таких измерений основана на свойстве модулированного шума источника А при его суммировании с другим шумом образовывать результирующий процесс с меньшими значениями коэффициента модуляции следует алгоритм определения среднеквадратичного значения модулированного по измеренным значениям

По способу измерения коэффициента модуляции различают методы: спектрального анализа огибающих вибраций; автокорреляционного анализа огибающих; взаимокорреляционного анализа огибающих.

Анализ [15] предела измерений малых уровней модуляции показывает, что наименьшие уровни периодической модуляции могут быть измерены методом взаимной корреляции:

где коэффициент превышения минимально измеряемой величины над флюктуациями [принимается по известному «правилу двух (трех) сигм»]; - верхняя исследуемая частота огибающей, полоса пропускания додетекторного фильтра; время усреднения.

Хорошие результаты дает метод спектрального анализа огибающих:

где полоса пропускания фильтра анализатора огибающей. Расчеты показывают, что эти два метода позволяют измерять коэффициенты модуляции порядка долей процента. Автокорреляционным методом анализа огибающих можно измерять лишь большие значения поэтому его применять не рекомендуется. Заметим, что в источнике коэффициент модуляции может достигать

Рис. 7. Схема тракта взаимокорреляционного анализа огибающих: 1 — усилитель, 2 — полосовой фильтр; 3 — блок автоматической регулировки уровня, 4 — детектор огибающей, 5 — фильтр нижних частот; 6 — коррелятор

Рис. 8. Схема тракта спектрального анализа огибающей: 1 — усилитель, 2 — полосовой фильтр; 3 — блок автоматической регулировки уровня; 4 — детектор огибающей, 5 — анализатор (узкополосный)

Вклад источника методом взаимной корреляции огибающих определяют следующим образом Измеряют вибрации источника точке суммарного поля (рис. 7). В каждом канале сигнал фильтруется (обычно применяют третьоктавные фильтры), проходит блок автоматической регулировки уровня 3, поддерживающий постоянную составляющую на выходе детектора неизменной, далее процесс детектируется линейным детектором огибающей 4, ограничивается по частоте фильтром нижних частот 5 и подается на коррелятор 6. На экране наблюдают периодическую составляющую корреляционной функции огибающей, размах которой фиксируют. Измеряют также автокорреляционную функцию огибающей источника с размахом По этим данным рассчитывают

определяющий вклад источника А в суммарное поле в точке X при работе других источников. Коэффициент модуляции в источнике может быть определен по соотношению

Для этого необходимо измерить постоянную составляющую на выходе детектора. Другой способ состоит в непосредственной градуировке шкалы коррелятора в значениях коэффициента модуляции по «эталонному» сигналу с известным

коэффициентом модуляции. Коэффициент модуляции или вклад определяют последовательно в каждой полосе шума.

Тракт для измерения коэффициента модуляции методом спектрального анализа огибающей (рис. 8) содержит полосовые фильтры, блок автоматического регулирования уровня поддерживающий линейный детектор и узкополосный анализатор. Шкалу анализатора предварительно градуируют по сшналу с известным коэффициентом модуляции (синусоидальная несущая модулированная гармоническим низкочастотным сигналом), либо парциальные коэффициенты модуляции оценивают по соотношению

где амплитуда; среднеквадратичное значение дискретной составляющей огибающей на частоте на выходе детектора.

При определении вклада источника этим методом измеряют коэффициенты модуляции в источнике и в исследуемой точке суммарного поля а затем рассчитывают Для повышения точности оценок коэффициентов модуляции вибрации можно рекомендовать переход от парциальных коэффициентов модуляции к суммарному коэффициенту модуляции что эквивалентно усреднению по ряду измерений

Методы измерений коэффициентов асимметрии и эксцесса. Наиболее точны методы определения числовых характеристик плотности распределения вероятностей сигнала на ЭВМ. Но удовлетворительные результаты могут быть получены и в приборе аналогового типа, где измеряются центральные моменты исследуемого процесса

после чего рассчитывают Другой метод состоит в использовании блока поддерживающего тогда шкалы приборов непосредственно градуируют в значениях и Исследуемый процесс возводится в степени 2, 3 и 4 в соответствующих нелинейных преобразователях, построенных, например, на диодах по принципу кусочно-линейной аппроксимации соответствующей нелинейной зависимости связывающей входное напряжение и выходной ток

Измерение процесса позволяет оценить возможную его модель, как показано выше, а в случае оценить суммарный коэффициент модуляции по выражению (39) В суммарный коэффициент модуляции, найденный таким образом, кроме энергетической суммы парциальных коэффициентов периодической модуляции входит коэффициент случайной модуляции, который можно вычислить методом спектрального анализа огибающей, если измерены

Измерение характеристик нестационарности процесса. Свойства нестационарности могут быть тесным образом связаны со свойствами негауссовского процесса. Первая модель не содержит каких-либо детерминированных функций времени и поэтому однозначно отьосится к классу стационарных негауссовских процессов.

Рассмотрим вторую из приведенных выше моделей случайных процессов. В случае, если гармонические составляющие связаны в единый звукоряд гармоник периодической нкции с периодом и известной начальной фазой, т. е. или имеется лишь одна составляющая с известной (определенной) начальной фазой то сумма представляет модель нестационарного по математическому ожиданию случайного процесса. Действительно, определяя его статистические характеристики осреднением по выборочному ансамблю из

реализаций, получаем

где случайные составляющие малы по сравнению с и и вызваны конечностью числа реализаций по которым производится усреднение:

Таким образом, усреднение по ансамблю реализаций позволяет определить функцию с любой заданной точностью, определяемой выбором Однако этот результат может быть достигнут лишь при условии синхронной привязки всех реализаций к единой оси времени, осуществляемой по схеме, приведенной на рис. 1, а под реализацией в данном случае понимается отрезок процесса длительность которого равна периоду функции получаемой, например, за один оборот двигателя, машины. Этот метод измерений, известный как метод синхронного накопления, позволяет анализировать процессы с быстрой периодической нестационарностью, выделять детерминированную функцию на фоне шума спектры которых лежат в одном диапазоне частот.

Рассмотрим третью модель при условии периодически модулирующей функции и известной начальной фазе. При усредненин по ансамблю реализаций получим оценки вероятностных характеристик.

где

Эта модель приводит к процессу, нестационарному по дисперсии, а зависимость дисперсии от времени определяется модулирующей функцией И здесь при относительно быстром изменении функции результат может быть получен лишь методом синхронного накопления, примененным к определению дисперсии по схеме, показанной на рис. 1. В обоих рассмотренных случаях оговаривалось условие, что для элементарного периодического процесса, «ответственного» за нестационарность сложного процесса, известна начальная фаза. Это означает, что информация о начальных моментах времени реализаций должна вводиться в прибор, т. е. начальная фаза должна быть «известна» прибору. Обобщая результаты анализа, проведенного на примере двух последних моделей процессов, содержащих детерминированные функции времени, следует отметить возможность представления одного и того же процесса в различных классах случайных процессов, а зависимости от выбранной для измерений вероятностной характеристики. По степени нарастания объема получаемой информации выделяются следующие виды измерений:

1) измерения коэффициента эксцесса; они наиболее просты, но результат содержит информацию только о наличии аддитивных гармонических составляющих либо мультипликативных составляющих, т. е. модуляции амплитуды и частоты этих составляющих остаются неизвестными; процесс относится к классу стационарных негауссовских

2) измерения спектра мощности процесса или его огибающей, позволяют определить амплитуды и частоты аддитивных или мультипликативных составляющих процесса, но неизвестными остаются начальные фазы этих составляющих, а еле довательно, и форма периодической функции; процесс относится к классу стационарного негауссовского,

3) измерения характеристик путем усреднения по ансамблю реализаций (методом синхронного накопления в случае периодичности определяемой функции); дают наибольшую информацию о процессе, позволяют определить форму аддитивной и мультипликативной составляющей процесса, однако этот результат достигается

усложнением методики и техники эксперимента, использованием импульсов синхронизации, которые и доставляют в измерительный тракт информацию о начальных фазах составляющих; процесс относится к классу нестационарных.

Очевидно, что рассмотренный метод накопления результата путем усреднения по ансамблю реализаций применим и к непериодическим характеристикам, но в этом случае каждая реализация должна получаться в результате включения (выключения) исследуемой системы, а импульс синхронизации должен фиксировать определенный начальный момент развития нестационарного процесса.

В случае малой скорости изменения характеристик процесса во времени становится возможным измерение функции нестационарности, характеризующей это изменение, по одной реализации процесса путем скользящего сглаживания с весом

В этом случае возникает задача об оптимальном выборе параметров сглаживания, ибо две составляющие погрешности в различной степени зависят от ширины временного окна:

смещенность результата уменьшается с уменьшением т. е. в общем случае где характерный масштаб (протяженность во времени) функции нестационарности (например, [2] для процесса при измерении дисперсии относительная смещенность результата

случайные флюктуации возрастают с уменьшением т. е.

В каждом конкретном случае по одному из критериев или могут быть найдены [2] условия минимума суммарной погрешности измерений характеристик нестационарного процесса.