9. МАТРИЦЫ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ (МПФ) СЛОЖНЫХ СИСТЕМ

Понятие МПФ. Многие важные технические объекты, например космические аппараты, не удается моделировать одномерными механическими цепями. Для расчета их колебаний пригодны экспериментально-расчетные методы, основанные на использовании МПФ. В отличие от одномерных механических цепей значения элементов МПФ сложных систем, как правило, не вычисляют, а измеряют непосредственно, после чего используют для определения вибрационных режимов, собственных частот и форм, а также для задач идентификации.

В этой главе рассмотрены принципы определения элементов МПФ, а также их использования для вибрационных расчетов. Технике измерения ПФ и элементов МПФ посвящена глава XIV.

МПФ является естественным обобщением понятия Она связывает два многомерных вектора — вектор возбуждения [например, силу и вектор реакции системы [например, скорость которые принято называть обобщенными входом и выходом Так,

где матрица операторных подвижностей. Элементы МПФ являются обычными Пф и могут быгь размерными и безразмерными величинами.

МПФ при силовом возбуждении. В механической системе при силовом возбуждении входной вектор состоит из обобщенных сил (сил и моментов), выходной — из обобщенных перемещений, скоростей или ускорений (включая угловые), а также из сил взаимодействия с присоединенными системами или жесткими опорами. Соответствующие передаточные функции можно называть операторной податливостью, операторной подвижностью, операторной восприимчивостью, передаточной функцией сил. В многомерном случае получается матрица операторных податливостей и т. д.

МПФ при кинематическом возбуждении. В этом случае входной вектор состоит из обобщенных перемещений, скоростей или ускорений, выходной вектор — из сил взаимодействия с присоединенными системами или с жесткими опорами, а также из кинематических величин, аналогичных входным. Соответствующие передаточные функции можно называть операторной жесткостью, операторным импедансом, операторной массой, передаточной функцией перемещений (скоростей, ускорений). В многомерной системе получается матрица операторных жесткостей и т. д. При замене параметра на получают матрицу комплексных жесткостей и т. п.

3. Передаточные функции колебательной системы с одной степенью свободы

(см. скан)

Выбор точек возбуждения и измерения. Передаточная матрица. МПФ отличаются не только размерностью, но и выбором точек возбуждения и измерения. Можно указать два основных варианта.

1. В каждой из выбранных точек задаются вынуждающие силы и измеряется вибрация (отклик). Выходы и входы здесь совмещены. В табл. 3 приведены передаточные функции колебательной системы с одной степенью свободы. В общем случае в каждой из точек (мест) может быть приложено до шести обобщенных сил и измерено до шести обобщенных параметров вибрации. Таким образом, матрица передаточных функций может иметь до строк и столбцов. Ее удобно записывать в виде блочной матрицы порядка. Отдельные блоки, или клетки, могут иметь порядок от одного до шести в зависимости от учета тех или иных координат:

(см. скан)

Ввиду того что по принципу взаимности матрица в целом симметрична, клетки расположенные на главной диагонали, должны быть симметричны, а остальные должны удовлетворять условию

Во избежание ошибок необходимо строго придерживаться единообразия в выборе положительных направлений сил и перемещений. Оси местной системы координат должны быть согласованы с направлением внешней нормали в данной точке.

2. Все выбранные точки системы делят на две группы — входные и выходные. Оба вектора содержат как силовые, так и кинематические величины. Такая система является обычно передаточным звеном между двумя другими системами, одна из которых является источником колебаний, другая — нагрузкой, воспринимающей вибрационную энергию. Например, однородный стержень, совершающий изгибные колебания в одной плоскости, имеет на каждом из двух концевых сечений перерезывающую силу, момент, линейное и угловое перемещения — вектор из четырех компонентов.

Наиболее распространены модели систем для анализа однонаправленных колебаний. У этих моделей на входе и выходе имеется по одной обобщенной силе и один кинематический параметр. Иногда эти модели называют механическими четырехполюсниками по аналогии с электрическими.

Матрицу передаточных функций, связывающую входной и выходной векторы передаточного звена, называют передаточной матрицей. В табл. 4 приведены комплексные передаточные матрицы, а также матрицы импедансов и подвижностей простейших механических систем — массы, пружины, колебательной системы с одной степенью свободы. Все положительные направления выбраны внутрь системы. При использовании матрицы для вектора скорости часто выбирают направление, совпадающее с Для этого случая необходимо изменить знаки элементов и матриц в табл. 4.